Inverse Fourier Transformation

Question

Hallo 
leider kriege ich diese Aufgabe nicht hin und würde mich über jede Hilfe freuen.

Aufgabe:

Berechnen Sie mit Hilfe inverserser Fourier - Transformation und der Beziehung ~f´(x) = i*k* ~f(k) das Integral :

I = $\int\limits_{0}^{\infty}$ $\frac{t*sin(bt)}{a²+t²}$ dt

Hinweis : ~f(k) = $\frac{2a}{a²+k²}$  ist die Fourier Transformierte zu f(x) = e^(-a*|x|)

Problem/Ansatz:

Fourier Transformation : 
~f(k) = $\int\limits_{-\infty}^{\infty}$ f(x) * e^(-ikx) dx

Inverse Fourier Transformation : 

f(x) = $\int\limits_{-\infty}^{\infty}$ ~f(k) * e^(ikx) dk

$\int\limits_{0}^{\infty}$ $\frac{t*sin(bt)}{a²+t²}$ dt = $\int\limits_{0}^{\infty}$ $\frac{t}{a²+t²}$* $\frac{e^{ibt}-e^{-ibt}}{2i}$ dt = $\int\limits_{0}^{\infty}$ $\frac{t}{a²+t²}$* $\frac{e^{ibt}}{2i}$ dt  - $\int\limits_{0}^{\infty}$ $\frac{t}{a²+t²}$* $\frac{e^{-ibt}}{2i}$ dt =1/(2i) $\int\limits_{0}^{\infty}$ $\frac{t}{a²+t²}$* e^{ibt} dt  -  1/(2i)$\int\limits_{0}^{\infty}$ $\frac{t}{a²+t²}$* e^{-ibt} dt   = 1/(4ia) $\int\limits_{0}^{\infty}$ $\frac{2a}{a²+t²}$*t* e^{ibt} dt  -  1/(2i)$\int\limits_{0}^{\infty}$ $\frac{t}{a²+t²}$* e^{-ibt} dt = 1/(4ia) * e^(-a*|x|) *t   -  1/(2i)$\int\limits_{0}^{\infty}$ $\frac{t}{a²+t²}$* e^{-ibt} dt  

Jetzt wüsste ich allerdings nicht mehr weiter.

LIebe Grüße Hans

PS : Tut mir Leid dass sich die Darstellung der zB e-fkt ändert aber die Vorschau hat nichts mehr "hoch genommen " .

Comments

weiß keiner wie es weiter gehen könnte ?

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Wir benennen t→k und b→x um:

Answer 1

So ist meine Lösung :

jViel Erfolg