Mit l'Hospital Grenzwert berechnen von folgender Reihe ∑ (n^n)/(2^{n^2})

Question

Wie kann ich mit dem Satz von L'Hospital dieses Beispiel lösen?

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} (n^n)/(2^{n^2}) \)

Bei mir kommt nachdem ich das wurzelkriterium angewendet hab, beim Limes unendlich durch unendlich raus. da nimmt man dann ja den satz von l'hospital. allerdings weiß ich nicht wie.

Answer 1

Mit L'H wirde ich hier nicht rangehen, da die Konvergenzkriterien nur mit den natürlichen Zahlen handtieren. Bei dem Ausdruck $$ \frac{n}{2^n} $$ ist aber klar, dass der Grenzwert < 1 ist.

Man kann das auch mit dem Quotientenkriterium machen.

$$ \limsup_{n \to \infty}\Bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigg|\\=\limsup_{n \to \infty}\Bigg|\frac{(n+1)^{n+1}}{2^{(n+1)^2}}\cdot \frac{2^{n^2}}{n^n}\Bigg|\\=\limsup_{n \to \infty}\Bigg|\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\cdot \frac{2^{n^2}}{2^{(n+1)^2}}\Bigg|\\=\limsup_{n \to \infty}\Bigg|\frac{(n+1)^n\cdot(n+1)}{n^n}\cdot \frac{2^{n^2}}{2^{n^2+2n+1}}\Bigg|\\=\limsup_{n \to \infty}\Bigg|(n+1)\cdot \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\cdot \frac{1}{2^{2n+1}}\Bigg|\\=\frac{1}{2}\cdot \limsup_{n \to \infty}\Bigg|(n+1)\cdot \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\cdot \frac{1}{2^{2n}}\Bigg|\\=\frac{1}{2}\cdot \limsup_{n \to \infty}\Bigg|\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\cdot \frac{n+1}{4^n}\Bigg|\\\stackrel{(*)}{\leq} \frac{1}{2}\cdot \limsup_{n \to \infty}\Bigg|\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\cdot \frac{n+1}{3n+1}\Bigg|\\=\frac{1}{2}\cdot \limsup_{n \to \infty}\Bigg|\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\cdot \frac{1+\frac{1}{n}}{3+\frac{1}{n}}\Bigg|=\frac{1}{6}\cdot e<1.$$

Also absolut konvergent.

(*)Bernoulli-Ungleichung \( 4^n=(1+(4-1))^n\geq 1+3n \)

Answer 2

$$ \lim\limits_{n\to\infty}  \frac{n}{2^n} $$

$$ \lim\limits_{n\to\infty}  \frac{1}{2^n *ln2} $$ =0

->0<1 konvergent

 

Comments

Die Frage ist fast fünf Jahre alt; gut dass sich da mal jemand drum kümmert!

Allerdings sind Zähler und Nenner des Limes-Operators nur für natürliche Zahlen definiert, die skizzierte Antwort bedarf also noch ein paar Stützen.

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Wie kommst du plötzlich auf n/2^n ?

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Ich denke nicht das die Reihe konvergent ist. Die Summe der ersten hundert Summanden ergibt schon \( 10^{139} \)

Und mit dem Quotienten- und Wurzelkriterium ergibt sich auch keine Konvergenz.

$$  \sqrt[n]{ \frac{n^n}{ (2^n)^2 } } = \frac{n}{4} $$

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@ullim: Deine Klammerung ist nicht die ursprüngliche.

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@ Gast2016

Der Ausdruck $$ \frac{n}{2^n} $$ ist durch die Anwendung des Wurzelkriteriums entstanden.

$$ \sqrt[n]{\frac{n^n}{2^{n^2}}}=\sqrt[n]{\frac{n^n}{2^{n\cdot n}}}=\frac{n}{2^n} $$

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Dazu braucht man doch kein l'hospital!

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Ich sehe 2^n^2 als \( (2^n)^2 \) an. Was ist daran falsch?

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Das ist vermutlich ein Caret-Fehler.

Gemeint ist 2^{n^2}

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Du wendest die Potenzgesetze falsch an.

$$ \Big(a^{b}\Big)^d=a^{b\cdot d} $$

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@ullim: Das entspricht nicht der üblichen Wertigkeit von Rechenoperationen, sondern ist bereits Interpretation. Ich räume gerne ein, dass "üblich" nicht alle Fälle abdeckt, beispielsweise macht es eines meiner CAS so, wie du.