Distributivgesetz auf Restklassen angewandt

Question

Aufgabe:

Sei Z/7Z:{ 0 + 7Z, 1+7Z,.......,6+7Z}. Zeigen Sie, dass in (Z/7Z,+,*) die Distributivgesetze gelten.

Problem/Ansatz:

(a + 7Z) ((b + 7Z) + (c + 7Z)) = (a + 7Z) ((b + c) + 7Z) = a(b + c) + 7Z = (ab + ac) + 7Z = (ab + 7Z) + (ac + 7Z) = (a + 7Z)(b + 7Z) + (a + 7Z)(c + 7Z)

Zweites Distributivgesetz analog dazu.

Würde das stimmen, bin mir recht unsicher.

Answer 1

Deine Umformungen sind alle korrekt.

bin mir recht unsicher.

Begründe für jeden einzelnen Umformungsschritt, warum du ihn durchführen darfst.
Warum darfst du zum Beispiel in

(a + 7Z) ((b + 7Z) + (c + 7Z)) = (a + 7Z) ((b + c) + 7Z)

den Term  (b + 7Z) + (c + 7Z) umformen zu (b + c) + 7Z? Das Pluszeichen in dem Ausdruck b + 7Z ist keine Addition von Zahlen, sondern ist bestandteil des Namens des entsprechenden Elementes aus Z/7Z. du hast es behandelt, also ob es eine Addition mit Kommutativgesetz wäre.

Comments

 Verzeihung habe euch ein Teil der Aufgabe vorenthalten. "Dabei entsprechen + und * der üblichen Addition bzw. Multiplikation". So würde es passen. oder?

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"Dabei entsprechen + und * der üblichen Addition bzw. Multiplikation"

Das + in

(Z/7Z,+,*)

hat eine endere Bedeutung als das + in

0 + 7Z, 1+7Z,.......,6+7Z

So lange du dir dieses Unterschiedes nicht bewusst bist, kannst du mit

(a + 7Z) ((b + 7Z) + (c + 7Z)) = (a + 7Z) ((b + c) + 7Z) = a(b + c) + 7Z = (ab + ac) + 7Z = (ab + 7Z) + (ac + 7Z) = (a + 7Z)(b + 7Z) + (a + 7Z)(c + 7Z)

dem Korrektor der Aufgabe vielleicht verkaufen, dass du das Thema verstanden hast und volle Punktzahl einheimsen. Falls dir das reicht, dann kannst du den Beweis so lassen. Falls nicht, dann begründe für jeden einzelnen Umformungsschritt, warum du ihn durchführen darfst.