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Aufgabe:

   Es sei p(t) das charakteristische Polynom der invertierbaren n×n-Matrix A mit Koeffizienten in einem nullteilerfreien Ring R.

Zeigen Sie, dass das charakteristische Polynom von A−1 gleich det(A−1)(−t)np(t−1) ist, wobei die Formel im Quotientenkörper des Polynomrings R[t] zu berechnen ist.


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Im besagten Quotientenkörper gilt t·En - A-1 = (-t)·(t-1·En - A)·A-1.
Unter Anwendung der bekannten Rechenregeln für Determinanten folgt
det(t·En - A-1) = (-t)n·det(t-1·En - A)·det(A-1) = (-t)n·det(A-1)·p(t-1).

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