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A:= \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -3 & 3 & 3 \\ 9 & -6 & 0 \end{pmatrix} \) ∈ ℝ 2×2

Berechnen Sie das charakteristische Polynom   XA(t)

von

Hallo

was ist deine Frage? weisst du nicht was das char. Pol einer Matrix ist?  dann sieh in Skript oder wiki nach .Kannst du die Det einer 3 mal 3 Matrix nicht bestimmen? Das ist nur rechnen.

Gruß lul

2 Antworten

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Aloha :)

$$\mbox{det}\left(\begin{array}{c}1-\lambda & 0 & 2\\-3 & 3-\lambda & 3\\0 & -6 & -\lambda\end{array}\right)=(1-\lambda)\mbox{det}\left(\begin{array}{c}3-\lambda & 3\\-6 & -\lambda\end{array}\right)+3\mbox{det}\left(\begin{array}{c}0 & 2\\-6 & -\lambda\end{array}\right)$$$$=(1-\lambda)(\lambda^2-3\lambda+18)+3(0+12)=\lambda^2-3\lambda+18-\lambda^3+3\lambda^2-18\lambda+36$$$$=-\lambda^3+4\lambda^2-21\lambda+54$$

von 26 k

Danke erst mal.

Weisst du auch wie man die Eigenwerte von A bestimmt?

Kannst du vielleicht den anstatz erklären?

Die Eigenwerte \(\lambda\) einer Matrix \(A\) sind ja definiert über:$$A\vec x=\lambda\vec x$$Das kann man umschreiben zu:

$$A\vec x-\lambda\vec x=\vec 0\quad\mbox{bzw.}\quad(A-\lambda\cdot E)\cdot\vec x=\vec 0$$Da die Eigenvektoren \(\vec x\) ungleich \(\vec 0\) sein müssen, kann die Gleichung nur erfüllt sein, wenn die Determinante von \(A-\lambda\cdot E\) gleich 0 wird. Daher habe ich zur Bestimmung der Eigenwerte oben in meiner Antwort den Wert \(\lambda\) auf der Hauptdiagonalen abgezogen.

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. In deinem Fall also:$$-\lambda^3+4\lambda^2-21\lambda+54\stackrel{!}{=}0$$Du kannst eine Nullstelle, nämlich \(\lambda=3\) erraten und dann das Polynom durch \((\lambda-3)\) dividieren. Das liefert dann:

$$-(\lambda-3)(\lambda^2-\lambda+18)=0$$Die Parabel in der Klammer hat keine reelle Lösung mehr, sondern nur 2 komplexe Lösungen. Der einzige reelle Eigenwert ist daher \(\lambda=3\). Wenn du auch die komplexen Eigenwerte mit angeben sollst, kannst du die pq-Formel nutzen und findest noch die beiden komplexen Nullstellen:$$\lambda=\frac{1}{2}\pm\frac{i}{2}\sqrt{71}$$Damit hättest du dann alle 3 Eigenwerte gefunden.

Danke. Vielen danke für detaillierte erklärung

Würdest Du diese Aufgabe dir mal anschauen?

liebe grüße

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Hallo zusammen,

wie heißt denn die Matrix nun?

a13=9 oder a13=0 (so gerechnet von Tschakabumba)

Die Angabe lautet auf

\(A^T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-\ell + 1&-3&9\\0&-\ell + 3&-6\\2&3&-\ell\\\end{array}\right)\)

das wird nähmlich etwas schöner

{-2 AT(1)/(1-l)+AT(3)}

\(A^T_3=\left(\begin{array}{rrr}0&3 + \frac{6}{-\ell + 1}&-\ell - \frac{18}{-\ell + 1}\\\end{array}\right)\)

{AT(1), AT(2), A3T(1) - (3 + 6 / (1-l) AT(2) / (3-l)}

\(\left(\begin{array}{rrr}-\ell + 1&-3&9\\0&-\ell + 3&-6\\0&0&-\ell\\\end{array}\right)\)

von 8,8 k

Was ist der unterschied zwischen deinem Lösungsweg und der von n Tschakabumba

ich bringe die Matrix, die Du angeben hast auf eine Dreiecksmatrix, Tschakabumba nimmt eine andere- sie unterscheiden sich an der angegebenen Stelle...

Ich bekomme die Eigenwerte λ=0,3,1

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