Seien U1,U2 Unterräume eines Vektorraums V.
Für i = 1,2 sei φi : V → V/Ui, v → v+Ui und ψ: V → V/U1 ×V/U2,v → (φ1(v),φ2(v)).
(a) Sei ψ Injektiv
==> Für alle u1, u2 ∈ V/U1 ×V/U2 mit ψ(u1) = ψ(u2) folgt u1=u2.
Sei nun u ∈ U1 ∩ U2 dann ist ψ(u) = (φ1(u),φ2(u)) = (u+U1 , u+U2) .
wegen u ∈ U1 gilt u+U1 = 0+U1 und wegen
u ∈ U2 gilt u+U2= 0+U12 also (u+U1 , u+U2) = (0+U1 , 0+U2)
==> ψ(u) = ψ(0) . Und wegen der Injektivität von ψ also u=0.
Außerdem ist natürlich 0 ∈ U1 ∩ U2 . Also = U1 ∩ U2 = {0V }.
Umkehrung: U1 ∩ U2 = {0V } ==> ψ Injektiv
geht so ähnlich.
(b) ψ ist genau dann surjektiv, wenn V = U1 + U2.
Idee hierzu wäre für <== :
Sei z ∈ V/U1 ×V/U2. Es gibt also z1,z2 ∈ V mit
z = ( z1+U1,z2+U2) . Zu zeigen: Es gibt v ∈ V mit ψ(v) = z.
Wegen V = U1 + U2 gibt es a1,b1 ∈ U1 und a2,b2 ∈ U2 mit
z1=a1+a2 und z2= b1+b2 . Dann ist a2+b1 das gesuchte v.
Umgekehrt wohl so ähnlich.
(c) Falls V = U1 ⊕ U2, so sind V und V/U1 × V/U2 isomorph.
ψ ist dann ein Isomorphismus.
Linearität einfach nachrechnen und bijektiv wegen a) und b).
