Das 5. Folgenglied bestimmen (Schritt für Schritt)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie das 5. Folgeglied der rekursiv definierten Folge (a_n) gegeben durch a_n = \( \frac{1}{2} \)a_n-1, a1=8, n∈ℕ>1.

Problem/Ansatz:

ich verstehe bei dieser Aufgabe nicht ganz wie ich auf auf das 5. Folgenglied komme. Soll man sich da vielleicht an die Rekursionstabelle richten? Ich habe bereits das Ergebnis im Skript, welches 1/2 beträgt. Eine Schritt-für-Schritt Erklärung wäre sehr nett.

Gruß Mathekoala

Answer 1

Aloha :)

$$a_1=8$$$$a_2=\frac{1}{2}a_{2-1}=\frac{1}{2}a_1=\frac{1}{2}\cdot8=4$$$$a_3=\frac{1}{2}a_{3-1}=\frac{1}{2}a_2=\frac{1}{2}\cdot4=2$$$$a_4=\frac{1}{2}a_{4-1}=\frac{1}{2}a_3=\frac{1}{2}\cdot2=1$$$$a_5=\frac{1}{2}a_{5-1}=\frac{1}{2}a_4=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}$$Allgemein:$$a_n=8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{16}{2^n}$$