Wahrscheinlichkeit 5 mal ein Schachspiel zu gewinnen bei 10% Gewinnwahrscheinlichkeit?

Question

Aufgabe:

Man spielt Schach gegen einen Computer. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen beträgt 10%. Wenn ich jetzt 10 mal Spiele, wie wahrscheinlich ist es, 5 mal zu gewinnen?

Problem/Ansatz:

Bei der Lösung bin ich mir unsicher. Meine Rechnung wäre diese: 0,1*0,1*0,1*0,1*0,1*0,5*0,5*0,5*0,5*0,5=

0,00000031

Irgendwie scheint mir die Lösung als zu gering. Kann mir jemand sagen, ob die Rechnung und Lösung richtig ist, und wenn nicht, mich über den Fehler aufklären?

Comments

wie wahrscheinlich ist es, 5 mal zu gewinnen?

das würde dann "mindestens 5mal" bedeuten.

Oder meinst du "genau 5mal" ?

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Oh, tut mir Leid, es heißt genau 5 mal. Habe ich vergessen zu übertragen.

Answer 1

Bei fünfmaligem Gewinnen muss, wie von dir bereits evaluiert \(0.1^5 \cdot 0.9^5\) gelten. Nun gibt es natürlich mehrere Möglichkeiten. Entweder man gewinnt die ersten 5 und verliert die letzten. Oder man gewinnt das erste und die letzten vier, usw.

Insgesamt gibt es \(\displaystyle\binom{10}{5} = \dfrac{10!}{(10-5)!\cdot 5!} =\) 252 Möglichkeiten. Die Anzahl der Möglichkeiten wird mit der multiplizierten Wahrscheinlichkeit von oben wiederum multipliziert.

P("genau 5x gewinnen") = \(252 \cdot 0.1^5 \cdot 0.9^5 \approx 0.149\%\)

Dies ist das gleiche Ergebnis, welches man ansonsten mithilfe der Binomialverteilung erhielte.

Answer 2

Schau mal unter Bernoullikette! Hier gilt: n=10, p=0,1, k=5