{vd+1 +U,....,vn+U} eine Basis von V/U ist.

Question

Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U≤V ein Unterraum. Sein n:= dim V und d= dimU ≤ n. Sei {v₁,..,v_d} eine Basis von U. Diese können wir zu einer Basis {v₁,....,v_d,v_d+1,...,v_n} von V ergänzen. Zu zeigen ist nun, dass

{v_d+1 +U,....,v_n+U} eine Basis von V/U ist.

Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Ich habe leider noch gar keine Ahnung von den Dualräumen und kann nicht mal einen Ansatz hinschreiben. Bin echt verzweifelt, weil ich nächste Woche eine Klausur schreibe.

Answer 1

Du musst zwei Dinge zeigen:

{v_d+1 +U,....,v_n+U} erzeugt  V/U   und die sind lin. unabh..

Sei also X ∈ V/U. Dann gibt es ein x∈V mit    X = x + U .

Das kleine x ist aus V, kann also mit der gegebenen Basis von

V dargestellt werden   x = a₁*v₁+....+ad*vd+a_d+1*v_d+1+...an*vn.

also ist groß X gleich  X = a1*v1+....+ad*vd+a_d+1*v_d+1+...an*vn + U .

Die ersten d Summanden sind alle in U, also kann ich das schreiben als

X = a_d+1*v_d+1+...an*vn + U  und weil ja auch 0 in U ist, erhalte ich das X

auch Linearkombination der entsprechenden Klassen

X = a_d+1*(v_d+1+U) +...an*(v_n+U) .

Entsprechend geht es auch für die lin. Unabhängigkeit über den Ansatz:

a_d+1*(v_d+1+U) +...an*(vn+U) = 0    wobei ja zu bedenken ist 0=U.

also schreibe die Gleichung mit entsprechenden Elementen aus U

und sortiere in Summanden aus U und nicht aus U und verwende

die lin. Unabhängigkeit der anfangs gegebenen Basis von V.