Funktionsscharen integrieren: f_{k}(x) := (-1/k)·x² + k

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionsschar f_k : x → \( - \frac{1}{k} x^2 + k \)  mit  k > 0.

a) Zeigen Sie, dass die Funktionen f_k symmetrisch sind.

Mit f(x) = f(–x) ist es klar, dass die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

b) Bestimmen Sie die Nullstellen von f_k in Abhängigkeit von k.

Die Nullstellen habe ich auch schon berechnet, Sie liegen bei N₁( k | 0 ) und N₂( –k | 0 ). Dazu Funktionsterm gleich Null gesetzt (\( f(x)=-\frac{1}{k} x^2 + k = 0 \))

c) Zeichen Sie den Graphen für k = 2. Habe ich auch schon skizziert.

d) Für welches k ist Inhalt der Fläche, die der Graph von f_k mit der x-Achse einschließt, gerade 12 Flächeneinheiten groß?" Hier brauche ich Hilfe. 

Ich habe die Integralrechnung durch geführt und komme auf:

\( \int\limits_{–k}^{k} \)(–\( \frac{1}{k} \)x² + k)dx = [–\( \frac{1}{3k} \)x³ + kx]^k_–k

A = (–\( \frac{1}{3k} \)k³ + k*k) – (\( \frac{1}{3k} \)k³ + k*(–k)) = (–\( \frac{k^3}{3k} \) + k²) – (\( \frac{k^3}{3k} \) – k²) = (–\( \frac{k^2}{3} \) + \( \frac{3k^2}{3} \)) – ( \( \frac{k^2}{3} \) – \( \frac{3k^2}{3} \))  =  \( \frac{2k^2}{3} \) + \( \frac{2k^2}{3} \) = \( \frac{4k^2}{3} \) = \( \frac{4}{3} \) k²

Für welches k ist Inhalt der Fläche, die der Graph von fk mit der x-Achse einschließt, gerade 12 Flächeneinheiten groß?

Wie finde ich das k für \( \int\limits_{–k}^{k} \)(–\( \frac{1}{k} x^2 + k) \ dx = 12 \)?

Answer 1

$$ \frac{4}{3} k^2 \overset{!}{=} 12 $$

$$ k^2 = 9 $$

$$ k = 3  \vee k = -3 $$

Comments

AHhhhhhh sooooooo...... Mann das hätte ich doch wissen sollen! Jetzt fühle ich mich blöd xD... Vielen dank für ihre Antwort :)))))

Answer 2

Das Integral hast du doch ausgerechnet. Warum verwendest du es nicht?

\( \frac{4}{3} \)k²=12. k=±3

Comments

*facepalm* .... man jetzt hab ich es geschnallt... #feelingstuid

Danke für die Hilfe!