Bestimmung eines Integrals aus der Funktionentheorie

Question

bei folgender Aufgabe benötige ich Hilfe.

Aufgabe:

Bestimme das folgende Integral

$\int\limits_{0}^{2\pi}e^{e^{i \phi}} d\phi$

Problem/Ansatz:

ich könnte das Integral zunächst umschreiben in folgendes Integral

$\int\limits_{0}^{2\pi} e^{cos \phi + i sin \phi} d\phi = \int\limits_{0}^{2\pi}e^{cos \phi}· e^{i sin\phi}d\phi = \int\limits_{0}^{2\pi}e^{cos \phi} (cos \phi + i sin \phi) d\phi$ 

und nun komme ich nicht mehr weiter

Answer 1

$$\int\limits_{0}^{2\pi} e^{cos \phi + i sin \phi} d\phi = \int\limits_{0}^{2\pi}e^{cos \phi}· e^{i sin\phi}d\phi = \int\limits_{0}^{2\pi}e^{cos \phi} (cos \phi + i sin \phi) d\phi$$

Beim letzten Schritt hast du schon einen Fehler gemacht. Rauskommen sollte:

$$\int_0^{2\pi} e^{\cos(\phi)} \left[ \cos(\sin(\phi)) + i\sin(\sin(\phi)) \right]d\phi$$

Aber dieser Weg wird vermutlich nicht zielführend sein. Die Stammfunktion des Integranden ist nicht analytisch, also musst du mit einem Trick arbeiten.

Schau dir das Integral mal genau an: $e^{e^{ix}}$ und $x$ läuft von $0$ bis $2\pi$ du berachtest ja also irgendwie $e^z$ wobei $z = e^{ix}$ den Einheitskreis genau einmal abläuft.

$$\gamma : [0,2\pi] \to \mathbb{C}, t \mapsto e^{it}$$

Ist die entsprechende Kurve dazu. Wir wollen das Integral jetzt als Kurvenintegral über eine meromorphe Funktion $f$ schreiben:

$$\int_0^{2\pi} e^{e^{it}} dt \stackrel{!}{=} \int_\gamma f(z)dz = \int_0^{2\pi} f(e^{it}) ie^{it} dt$$

Wir vergleichen jetzt die Integranden:

$$f(e^{it}) ie^{it} = e^{e^{it}} \longleftrightarrow f(z) iz = e^z \longleftrightarrow f(z) = \frac{-i e^z}{t}$$

und erhalten so eine Darstellung als Kurvenintegral:

$$\int_\gamma \frac{-i e^z}{z} dz = \int_0^{2\pi} e^{e^{it}} dt$$

Die linke Seite kannst du jetzt mit dem Residuensatz leicht ausrechnen.