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Aufgabe:

Welche der folgenden drei Aussagen sind wahr und welche sind falsch? Geben Sie jeweils eine Begründung oder ein Gegenbeispiel an:

a) Für A ∈ On (ℝ) gilt stets det(A) ∈ {1, -1}.

b) Ist A ∈ Un (ℂ) mit det(A) = a, so ist |a| = 1.

c) Jede orthogonale Matrix A ∈ O3 (ℝ) hat det(A) als Eigenwert.


Ansatz:

Bei a) hab ich raus das die Aussage wahr ist, da für alle A∈On (ℝ) gilt A * AT = In. Also kann man aus A eine Matrix bilden die als Diagonaleinträge 1 oder - 1 hat wodurch man durch den Multiplikationssatz eine Determinante von 1 oder -1 bekommt.

Bei den restlichen Teilaufgaben stehe ich aber ziemlich auf dem Schlauch...

von

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Aloha :)

a) \(A\in O_n(\mathbb{R})\) bzw. \(A^{-1}=A^T\):$$1=\det(E)=\det(A^{-1}A)=\det(A^TA)=\det(A^T)\cdot\det(A)=\det(A)\cdot\det(A)={\det}^2(A)$$$$\Rightarrow\quad\det(A)=\pm1$$

b) \(A\in U_n(\mathbb{C})\) bzw. \(A^{-1}=\overline A^T\):$$|a|^2=\left|\det(A)\right|^2=\overline{\det(A)}\cdot\det(A)=\det(\overline A)\cdot\det(A)=\det\left((A^{-1})^T\right)\cdot\det(A)=\det(A^{-1})\cdot\det(A)=\det(A^{-1}A)=\det(E)=1$$$$\Rightarrow\quad|a|=\left|\det(A)\right|=1$$

c) In (a) wurde gezeigt, dass eine orthogonale reelle Matrix nur die Determinante \(\pm1\) haben kann. Daher reicht es aus, diese beiden Fälle zu betrachten:

c1) \(A\in O_n(\mathbb{R})\) bzw. \(A^{-1}=A^T\) und \(\det(A)=1\):$$\det(A-E)=\det(A-A^{-1}A)=\det(A-A^TA)=\det(E-A^T)\cdot\det(A)=\det(E^T-A^T)=\det((E-A)^T)=\det(E-A)=(-1)^n\det(A-E)$$Falls \(n\) ungerade ist, gilt also:$$\Rightarrow\quad2\det(A-E)=0\quad\Rightarrow\quad\det(A-1\cdot E)=0\quad\Rightarrow\quad\lambda=1\;\mbox{ ist EW}$$

c2) \(A\in O_n(\mathbb{R})\) bzw. \(A^{-1}=A^T\) und \(\det(A)=-1\):$$\det(A+E)=\det(A+A^{-1}A)=\det(A+A^TA)=\det(A)\cdot\det(E+A^T)=-\det(E^T+A^T)=-\det((E+A)^T)=-\det(E+A)=-\det(A+E)$$$$\Rightarrow\quad2\det(A+E)=0\quad\Rightarrow\quad\det(A-(-1)\cdot E)=0\quad\Rightarrow\lambda=-1\;\mbox{ ist EW}$$

von 1,8 k

(c) gilt wohl nur für ungerade n.

Danke Spacko, du hast Recht. Ich habe beim letzten Schritt von (c1) geschlampt. Der Faktor \((-1)\) wird ja aus jeder Zeile gezogen, sodass bei gerade Zeilenanzahl das Vorzeichen der Determnante positiv ist. Ich habe das in meiner Antwort ergänzt.

Danke dir für den Hinweis!!!

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