Ungleichungen x< 3/(x+2) mit Lösungsmenge in Intervallschreibweise

Question

Aufgabe:

Sei \( \mathcal{L}=\left\{x \in \mathbb{R} \backslash\{-2\}: x<\frac{3}{x+2}\right\} . \) Geben Sie \( \mathcal{L} \) in Intervallschreibweise an.

\( \mathcal{L}=(-\infty ;-3) \cup(-2 ; 1) \)

Ansatz/Problem:

Ich habe eine Frage zu dem Lösungsintervall. Wie kommt man auf die Grenze (-unendlich, -3).

Ich komme auf die linke Grenze von (-3,-2).

Answer 1

x   <   3 / (x+2)

1. Fall   x+2>0 also   x > -2 :

Dann ist es äquivalent zu

   x *(x+2) < 3

<=>   x^2 + 2x - 3  < 0

<=> (x+3)(x-1) < 0

Und wegen der Fallannahme x>-2 sind das alle

von -2 bis 1 also  ( -2 ; 1 )

Für den anderen Fall x < -2 ergibt sich entsprechend ( - ∞ ; -3 ) .

Answer 2

1. Fall:

x>-2

x(x+2)<3

x^2+2x-3 <0

(x+3)(x-1)<0

x+3<0 u. x-1>0

x<-3 u. x>1 → keine Lösung

x>-3 u. x<1 --> ]-2;1[

2.Fall:

x<-2

(x+3)(x-1)>0

x>-3 u. x>1  → x>1 (Widerspruch)

x<-3 u.x<1 → x<-3  → ]-oo;-3[

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3C+3%2F(x%2B2)

Answer 3

Ohne Fallunterscheidung: Für x ≠ -2 ist die Ungleichung äquivalent zu$$0>x(x+2)^2-3(x+2)=(x+3)\cdot(x+2)\cdot(x-1).$$Die Lösungsmenge lässt sich unmittelbar ablesen.

Eine Betragsungleichung ist das allerdings nicht.