Aufgabe:
Die Frage ist:Untersuchen Sie das folgende uneigentliche Integral auf Konvergenz$$\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx$$Die Antwort ist sorgfältig zu begründen!Ich komme an dieser Aufgabe nicht weiter.Ich habe versucht das Integral aufzuteilen in\[\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx=\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx\]\[\leq\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx=2\sqrt{c}+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx\]Bei dem zweiten Summanden weiß ich nicht wie ich den abschätzen soll.Ich wäre über eure Hilfe dankbar :)
Hallo
für x->oo setze Integrand < x-3/2
Gruß lula
Hallo lula danke für deine Antwort.Stimmt, bei dem anderen Summanden lässt man dann einfach x wegfallen.$$\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx=\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx$$$$\leq\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx=2\sqrt{c}+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx$$$$\leq\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3}}dx=2\sqrt{c}+\frac{2}{\sqrt{c}}$$Somit ist das Integral konvegent.
dass da überall c steht irritiert, sonst richtig.
lul
Im Bereich von 1 bis unendlich ist der Integrand ≤ 1 / (1 + x^2 )
wie folgende Umformung zeigt
√x ≤ √(1+x^2)
==> 1 / √(1+x^2) ≤ 1 / √x | * 1 / √(1+x^2)
==> 1 / (1+x^2) ≤ 1 / ( √x * √(1+x^2) ) = Integrand.
Und dann bist du ja mit arctan dabei !
Wollt ihr nicht alle mal einen Kurs über ≤ und ≥ belegen ?
Mein Irrtum.(Das fehlende Wurzelzeichen hatte mich irritiert, das war aber ja nur ein Tippfehler.)
