Bestimmung eines konvergent uneigentlichen oder divergent uneigentlichen Riemann Integrals

Question

Aufgabe:

Entscheide ob es ein konvergentes uneigentliches Riemann-Integral oder ein divergentes uneigentliches Riemann Integral ist. Im Fall der Konvergenz berechne den Wert des uneigentliches Riemann-Integrals.

\( \int \limits_{-3}^{3}|x+2|^{-1 / 2} \mathrm{~d} x \)

 \( \int \limits_{0}^{\infty} x \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x \),

Problem/Ansatz:

Hilfe bei der Bestimmung und Berechnung

Comments

Für das erste Integral muss man u.a. berechnen (mit \(\delta>0\)):

$$\int_{-2+\delta}^3 (x+2)^{-1/2} dx$$

Das könntest Du doch mal machen.

Answer 1

\(  \int \limits_0^z x*exp(-2x)  \)

Eine Stammfunktion (partielle Int ! )  ist \(  (\frac{-x}{2}-\frac{1}{4})*exp(-2x)  \)

also \(  \int \limits_0^z x*exp(-2x) = (\frac{-z}{2}-\frac{1}{4})*exp(-2z) + \frac{1}{4} \)

Für z gegen ∞ geht der 1. Summand gegen 0, also

ist das ein konvergentes mit Wert  1/4.