Normalverteilung, Formel umstellen

Question

Normalerweise, berechne ich das Blaue, also die Aufgabenstellung verlangt, dass ich das blaue berechne.

Wenn ich die Aufgabenstellung nun verlangt, dass ich das Grüne, gelbe oder rote berechnen soll, gibt es hier für eine Art Formel, oder vorgehen woran ich mich orientieren könnte?

Ich habe hierzu schon eine Frage gestellt: https://www.mathelounge.de/646537/normalverteilung-nach-x-auflosen

Das Grüne habe ich verstanden, ich orientiere mich an das Grundgerüst der Lösungen.

Gibt es, falls ich nach Grün, rot, oder gelb auslösen muss eine Art von Formel/Grundgerüst?

Answer 1

Aloha :)

Bei einer normal-verteilten Zufallsvariablen $X$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihr Wert $x<a$ ist, durch das Integral über die Gauß-Glocke gegeben:$$P(x<a)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^ae^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{(x-\mu)}{\sigma}\right)^2}\,dx$$wobei $\sigma$ die Standardabweichung der Zufallsvariablen $X$ ist und $\mu$ ihr Mittelwert ist. Dieses Integral kann nur numerisch bestimmt werden. Zur einfachen Berechnung des Integrals, kann man folgende Substitution durchführen:$$z:=\frac{x-\mu}{\sigma}\quad\Leftrightarrow\quad x=z\cdot\sigma+\mu \quad;\quad \frac{dx}{dz}=\sigma$$Diese Substitution wird z-Transformation genannt. Dabei ziehen wir von den $x$-Werten den $x$-Mittelwert $\mu$ ab und dividieren das Ergebnis durch die $x$-Standardabweichung $\sigma$. Die Rücktransformation folgt daraus sofort durch arithmetische Umformung. Bevor wir $x$ und $dx=\sigma\,dz$ in das obige Integral einsetzen, überlegen wir uns noch, was bei der Substitution mit den Integrationsgrenzen passiert:$$z(-\infty)=\lim\limits_{x\to{-\infty}}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=-\infty\quad;\quad z(a)=\frac{a-\mu}{\sigma}$$Damit erhalten wir:$$P(x<a)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\frac{a-\mu}{\sigma}}e^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{((z\sigma+\mu)-\mu)}{\sigma}\right)^2}\,\sigma\,dz=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\frac{a-\mu}{\sigma}}e^{-z^2/2}\,dz=:\Theta\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$Durch Vergleich mit dem obersten Integral erkennt man, dass die neu eingeführte Zufallsgröße $Z$ den Mittelwert $\mu_z=0$ und die Standardabweichung $\sigma_z=1$ hat. Man erhält durch die $z$-Transformation also eine standardisierte Normalverteilung. Diese wird oft mit $\Theta(z)$ bezeichnet und kann tabellarisch dargestellt werden.

Zur Umrechnung:

Du kannst in einer dieser $\Theta(z)$-Tabellen den Wert für die Wahrscheinlichket $P(x<a)$ suchen, aus der Tabelle ablesen, welchem $z$-Wert das entspricht und diesen dann mittels der Formel für die z-Transformation wieder in $x=z\cdot\sigma+\mu$ umrechnen.

Answer 2

Na klar. Du kannst das alles immer zur gesuchten Größe über Äquivalenzumformungen auflösen. Z.B.

P(x ≤ z) = Φ((z - μ) / σ)
Φ((z - μ) / σ) = P(x ≤ z)
(z - μ) / σ = Φ^(-1)(P(x ≤ z))
z - μ = Φ^(-1)(P(x ≤ z))·σ
z = μ + Φ^(-1)(P(x ≤ k))·σ

Oder auch zu den anderen Unbekannten aufgelöst

σ = (z - μ) / Φ^(-1)(P(x ≤ z))
μ = z - Φ^(-1)(P(x ≤ k))·σ

Es ist hilfreich meine Zeilen ordentlich mit Brüchen zu notieren.