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Was für eine Bedeutung hat die eulersche Zahl?

Gerne auch eine Herleitung von e und einen Beweis davon. Darüber würde ich mich sehr freuen, um es nachvollziehen zu können.

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Aloha :)

Alle Exponentialfunktionen \(f_a(x)=a^x\) mit \(a>0\) gehen durch den Punkt \((0;1)\), denn \(f_a(0)=a^0=1\). Aber ihre Steigung im Punkt \((0;1)\) ist unterschiedlich. Exemplarisch bestimmen wir die Steigung von \(f_2(x)=2^x\) und \(f_3(x)=3^x\) im Punkt \((0;1)\) näherungsweise mit dem Differenzenquotienten:

$$f'_2(0)\approx\frac{2^{0+0,01}-2^{0}}{0,01}\approx\frac{0,007}{0,01}=0,7\;\;;\;\;f'_3(0)\approx\frac{3^{0+0,01}-3^{0}}{0,01}\approx\frac{0,011}{0,01}=1,1$$

Wir können daher vermuten, dass es eine Zahl \(e\in\,]2;3[\) gibt, deren Exponentialfunktion \(f_e(x)=e^x\) im Punkt \((0;1)\) exakt die Steigung \(f'_e(0)=1\) hat. Das heißt, diese Funktion \(f_e(x)=e^x\) lässt sich für kleine \(x\)-Werte, also \(|x|\ll1\), durch eine Gerade mit der Steigung \(1\) sehr gut annähern, und die Näherung wird umso genauer, je näher \(x\) bei \(0\) liegt:$$e^x=f_e(x)\approx f_e(0)+f'_e(0)\cdot x=1+x\quad;\quad |x|\ll 1$$Damit lässt sich die gesuchte Zahl \(e\) bestimmen:$$e=e^1=e^{n/n}=\left(e^{1/n}\right)^n\approx\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\quad;\quad n\gg1$$Je größer \(n\) wird, desto genauer kann \(e^{1/n}\) durch \(\left(1+\frac{1}{n}\right)\) angenähert werden. Für \(n\to\infty\) wird schließlich Gleichheit erreicht:$$e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\approx2,718281828459045\ldots$$

Wir können nun schon den Wert von \(e\) berechnen und wissen, dass die Ableitung von \(e^x\) an der Stelle \(x=0\) exakt den Wert \(1\) hat. Nun bestimmen wir die Ableitung von \(f_e(x)=e^x\) für alle beliebigen Werte \(x\in\mathbb{R}\):$$\left(e^x\right)^\prime=f'_e(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{e^x\cdot\left(e^h-1\right)}{h}=e^x\cdot\underbrace{\lim\limits_{h\to0}\frac{e^{0+h}-e^0}{h}}_{=f'_e(0)=1}=e^x$$Die Ableitung von \(e^x\) ist also an allen Stellen \(x\in\mathbb{R}\) gleich ihrem Funktionswert:$$\left(e^x\right)^\prime=e^x\quad;\quad x\in\mathbb{R}$$Wegen dieser Eigenschaft heißt die Funktion \(f_e(x)=e^x\) auch die Exponentialfunktion.

Nun untersuchen wir, ob und wie sich \(f_e(x)=e^x\) als Potenzreihe darstellen lässt:$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\quad;\quad a_n\in\mathbb{R}\quad;\quad x\in\mathbb{R}$$Aus der Bedingung \(f_e(0)=e^0=1\) folgt, dass \(a_0=1\) gewählt werden muss. Die anderen Koeffizienten erhalten wir aus der Feststellung, dass die Ableitung von \(e^x\) mit sich selbst übereinstimmen muss:$$\left(e^x\right)^\prime=\sum\limits_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}=\sum\limits_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^{(n+1)-1}$$$$\phantom{\left(e^x\right)^\prime}=\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n$$Koeffizientenvergleich mit der angesetzen Reihendarstellung von \(e^x\) liefert die Beziehung  \(a_n=(n+1)a_{n+1}\) für alle \(n\ge0\). Zusammen mit \(a_0=1\) erhalten wir folgende Rekursionsformel:$$a_{n+1}=\frac{a_n}{n+1}\quad;\quad a_0=1$$Diese wird gelöst durch \(a_n=\frac{1}{n!}\) für alle \(n\ge0\), sodass:$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\,x^n\quad;\quad x\in\mathbb{R}$$

Anmerkung:

Die Potenzreihen-Darstellung ist kein mathematisch exakter Beweis, da bei unendlichen Summen stets Konvergenzfragen auftauchen. Soll die Summe für alle reelle Zahlen \(x\in\mathbb{R}\) endlich sein, so müssen die Koeffizienten \(a_n\) in ihrem Betrag schnell genug gegen Null konvergieren, um die für \(|x|>1\) schnell wachsenden Potenzen \(x^n\) zu kompensieren. Ist die Konvergenz für alle reellen Zahlen gegeben, so kann man Potenzreihen in vielerlei Hinsicht so behandeln, als wären sie Polynome. Das zu zeigen würde aber den Rahmen hier sprengen. Auch gibt es noch viele weitere Eigenschaften von der Exponentialfunktion \(e^x\), denen man ganze Vorlesungen widmen kann ;)

von 18 k

Ich habe das alles verstanden!!! So gut hat mir noch nie jemand die Exponentialfunktion bzw. e erklärt.

Vielen vielen Dank dafür, mach bitte weiter so... \ö/

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\(\begin{align*}
&  & f(x) & :=a^{x}\\
& \implies & f'(x) & =\lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^{x}}{h}\\
&  &  & =\lim_{h\to0}\frac{a^{h}\cdot a^{x}-a^{x}}{h}\\
&  &  & =\lim_{h\to0}\left(\frac{a^{h}-1}{h}\cdot a^{x}\right)\\
&  &  & =a^{x}\cdot\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h} \\
&  &  & =f(x)\cdot\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}
\end{align*}\)

Es stellt sich die Frage, für welches \(a\in \mathbb{R}\)

        \(\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h} = 1\)

gilt. Dann wäre nämlich \(f'(x) = f(x)\).

Definition 1. Die Zahl \(e\) ist die reelle Zahl, für die

        \(\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h} = 1\)

gilt.

Zinseszins:

  1. Verzinst man das Anfangskapital von 1 für ein Jahr mit 100%, dann hat man am Ende des Jahres ein Endkapital 2.
  2. Teilt man den Verzinsungszeitraum in zwei Abschnitte auf und verzinst jeweils mit 100/2 %, dann hat man am Ende des Jahres ein Endkapital \(\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2\text{,}25\).
  3. Teilt man den Verzinsungszeitraum in 4 Abschnitte auf und verzinst jeweils mit 100/4 %, dann hat man am Ende des Jahres ein Endkapital \(\left(1 + \frac{1}{4}\right)^4 = 2\text{,}4414062525\).
  4. ...
  5. Teilt man den Verzinsungszeitraum in n Abschnitte auf und verzinst jeweils mit 100/n %, dann hat man am Ende des Jahres ein Endkapital \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\).

Das Endkapital wird größer, je größer \(n\) ist. Kann es beliebig groß werden? Nein.

Definition 2. Die Zahl \(e\) ist der Grenzwert

        \(\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\).

Aus der Taylorentwicklung von \(e^x\) bekommt man

Definition 3. \(e := \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\).

Mittels \(e\) lassen sich trigonometrische und Hyperbelfunktionen definieren, zum Beispiel

Definition 4.

  • \(sinh(x) := \frac{1}{2}\left(e^x - e^{-x}\right)\)
  • \(sin(x) := \frac{1}{2\text{i}}\left(e^{\text{i}x} - e^{-\text{i}x}\right)\)
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Betrachtet man die Funktion f(x) = ax, dann lautet die Ableitung f'(x) = ax * ln(a)

Will man erreichen, dass f(x) = f'(x) gilt, dann muss man a so wählen, sodass ln(a) = 1 gilt.

Genau diese Bedingung erfüllt die Eulersche Zahl, d.h. a = e.

Wegen f(x) = f'(x), gilt dann auch für die Stammfunktion

F(x) = f(x) + C.

Aus diesem Grund hat die Funktion f(x) = ex eine grosse Bedeutung bei der Lösung von Differentialgleichungen. Die Zahl e bestimmt man über die Summe $$ e = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} $$

von
+3 Daumen

Die sogenannte e-Funktion, in der die eulersche Zahl enthalten ist, ist ein Ergebnis der Differentialgleichung $$ f(x)=f'(x)$$

Man kann folgendermaßen drauf kommen:

Ich suche eine Funktion f, welche obige Differentialgleichung erfüllt. Als Ansatz definiere ich $$ f(x):=\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k $$

Dann ist ihre erste Ableitung

$$ f'(x)=\sum_{k=1}^\infty k\cdot a_k\cdot x^{k-1}\\\stackrel{(*)}{=}\sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot a_{k+1}\cdot x^k$$

Mich interessieren nun die Koeffizienten a_k. Die bekomme ich per Koeffizientenvergleich heraus. Also:

$$ f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot a_{k+1}\cdot x^k=f'(x)$$

Ich gucke mir jetzt jeden Summanden einzeln an und bekomme folgende Rekursionsgleichung:

$$ a_k=(k+1)\cdot a_{k+1} \\\Leftrightarrow a_{k+1}=\frac{a_k}{k+1}$$

Problem: Was ist a_0? Keine Ahnung. Also definieren wir ihn uns einfach als eine Konstante $$ a_0=:c\in\mathbb{R}$$, da $$ c\cdot x^0=c$$

Koeffiezientenvergleich:

$$ a_{0+1}=a_1=\frac{a_0}{0+1}=c\\ a_{1+1}=a_2=\frac{a_1}{1+1}=\frac{c}{2}\\a_{2+1}=a_3=\frac{a_2}{2+1}=\frac{c}{6}$$

Wenn man das so weitermacht, wird man erkennen, dass sich jeder Koeffizient durch

$$ a_k=\frac{c}{k!} $$

beschreiben lässt.

Das kann man dann über Induktion beweisen. Hier nur das Wesentliche, weil das drum herum nur langweilige Schreibarbeit ist. Der Induktionsschritt:

Es gilt auch für k+1, d.h., $$ a_{k+1}=\frac{c}{(k+1)!} $$. Dies zeigt man so:

Mit der Rekursionsgleichung folgt

$$ a_{k+1}=\frac{a_k}{k+1}\stackrel{(IV)}{=}\frac{c}{k!}\cdot \frac{1}{k+1}=\frac{c}{(k+1)!} $$

Und tatsächlich! Es beschreibt damit alle Koeffizienten.

Damit kommt man auf

$$ f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{c}{k!}\cdot x^k $$

Weiter ist

$$ f'(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{c\cdot k}{k!}\cdot x^{k-1} =\sum_{k=0}^\infty\frac{c\cdot (k+1)}{(k+1)!}\cdot x^k=\sum_{k=0}^\infty\frac{c}{k!}\cdot x^k $$

Und man erhält dasselbe Ergebnis.

$$ f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{c}{k!}\cdot x^k =:c\cdot e^x$$

(*) Indexverschiebung.

(IV) Induktionsvoraussetzung.

von 7,5 k
0 Daumen

Ich benutze für meine Schüler zuerst immer die Herleitung über die Zinseszinsrechnung, also genau so wie die ersten Näherungswerte von e von Jakob I Bernoulli gefunden wurden.

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl

blob.png

An dieser Stelle könnte man jetzt als Dozent den Grenzwert für die Schüler/Studenten herleiten oder den Studenten die Herleitung überlassen.

Man könnte auch die Schüler bitten mit dem Taschenrechner einen möglichst genauen Wert für e zu ermitteln in dem immer größere Werte für n eingesetzt werden sollen.

von 309 k 🚀

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