Prüfen sie ob das folgende Polynom 4. Grades irreduzibel ist x⁴+x²+1

Question

Aufgabe:

Prüfen sie ob das folgende Polynom 4. Grades irreduzibel ist x^4+x²+1.

Es steht kein Körper dazu. Ich gehe davon aus, wir sind in GF(2), da es um BCH Kodes geht.

Spoiler: ist es nicht!

Problem/Ansatz:

Kann ich über die Logarithmentafel eine Aussage treffen? Über das Verknüpfen mit x mit sich selbst mod x^4+x²+1 (Restklassen) kann ich eine Aussage treffen, ob ein Polynom primitiv ist. Wenn es primitiv ist, muss es auch irreduzibel sein.

Irreduzibel bedeutet es gibt Polynome A UND B, die kleineren Grad haben als 4 und die A*B = x^4+x²+1 ergeben. Ich muss in irgendeinem Körper Nst. finden, um das Polynom x^4+x²+1 zerlegen zu können, da es nicht irreduzibel ist. Ich weiß nicht, wie ich es mir bei diesem Polynom errechnen kann.

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

Hallo

in Z2 ist es irreduzibel. da weder für x=0 noch für x=1 x^4+x^2+1=0 eine Lösung hat.

aber in Z3 etwa ist es nicht irreduzibel da es die Lösung x=1 hat denn 1^4+1^2+1=3=0mod 3

also kommt es schon auf den Körper an.

Gruß lul

Comments

Ok, dann ist das die Lösung nehme ich an, da kein Körper angegeben ist.