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Aufgabe:

Ich habe da eine Statistikaufgabe, die ich mittels Aufleitung lösen muss. Ich hoffe, ihr könnt mir da weiterhelfen:

Berechnen Sie die Covarianz Cov(X,Y) für f(x,y) = 3x wenn 0 ≤ y ≤ x ≤ 1

Die Formel für Cov (X,Y) = E(XY) – E(X) x E(Y) wäre mittels Integral zu lösen:

E(X)=∫x⋅f(x)ⅆx   
E(Y)=∫y⋅f(y)ⅆx
E(XY)=∫xy⋅f(x,y)ⅆx
Die Aufleitungen machen mir da Schwierigkeiten.

von

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Aloha :)

Du hast hier 2 Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\), die sich eine gemeinsame Dichtefunktion teilen: $$f(x,y)=3x\quad;\quad0\le y\le x\le1\quad\mbox{bzw.}\quad x,y\in[0;1]\;\land\;y\le x$$

Daher musst du bei der Berechnung der Erwartungswerte auch stets über beide Zufallsvariablen integrieren. Bei \(E(x)\) musst du darauf achten, dass \(x\in[y;1]\) und \(y\in[0;1]\) gilt. Das führt dazu, dass nach der Integration über \(dx\) noch ein \(y\) durch die Integrationsgrenzen ins Spiel kommt. Daher musst du zuerst über \(dx\) und danach über \(dy\) integrieren:$$E(x)=\int\limits_0^1dy\int\limits_y^1dx\, x\cdot f(x,y)=\int\limits_0^1dy\int\limits_y^1dx\, 3x^2=\int\limits_0^1dy\left[x^3\right]_{x=y}^1$$$$\phantom{E(x)}=\int\limits_0^1dy\left(1-y^3\right)=\left[y-\frac{y^4}{4}\right]_0^1=\frac{3}{4}$$

Bei \(E(y)\) ist \(x\in[0;1]\) und \(y\in[0;x]\). Das führt dazu, dass nach der Integration über \(dy\) noch ein \(x\) durch die Integrationsgrenzen ins Spiel kommt. Daher musst du zuerst über \(dy\) und danach über \(dx\) integrieren:$$E(y)=\int\limits_0^1dx\int\limits_0^xdy\, xy\cdot f(x,y)=\int\limits_0^1dx\int\limits_0^xdy\, 3xy=\int\limits_0^1dx\left[\frac{3}{2}xy^2\right]_{y=0}^x$$$$\phantom{E(y)}=\int\limits_0^1dx\frac{3}{2}x^3=\left[\frac{3}{8}x^4\right]_0^1=\frac{3}{8}$$

Bei \(E(xy)\) können wir uns die Integrationsreihenfolge aussuchen. Wegen Copy-Paste behalte ich die von gerade eben bei:
$$E(xy)=\int\limits_0^1dx\int\limits_0^xdy\, xy\cdot f(x,y)=\int\limits_0^1dx\int\limits_0^xdy\, 3x^2y=\int\limits_0^1dx\left[\frac{3}{2}x^2y^2\right]_{y=0}^x$$$$\phantom{E(xy)}=\int\limits_0^1dx\frac{3}{2}x^4=\left[\frac{3}{10}x^5\right]_0^1=\frac{3}{10}$$Damit ist die gesuchte Kovarianz:$$\mbox{Cov}(x,y)=\frac{3}{10}-\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{8}=\frac{3}{10}-\frac{9}{32}=\frac{48}{160}-\frac{45}{160}=\frac{3}{160}$$

von 3,6 k

Vielen Dank für deine Antwort. Dennoch verstehe ich nicht, warum wir für E(X) auch nach dy integrieren müssen.
Warum reicht es nicht wenn ich schreibe:


1.JPG

Entschuldigung, dass ich dies als Bild hochgeladen habe. Irgendwie schaffe ich es nicht, vom Word hier hochzuladen.

Danke schön.

Die Zufallsvariablen x und y haben eine gemeinsame Dichtefunktion:$$f(x,y)=3x\quad;\quad 0\le y\le x\le 1$$

Zwar hängt \(f(x,y)\) nur von \(x\) ab, aber im Definitionsbereich ist gefordert, dass \(y\le x\) gelten muss. Daher kannst du \(x\) nicht unabhängig von \(y\) betrachten und musst über beide Variablen integrieren.

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