0 Daumen
1,1k Aufrufe

Aufgabe:

Ich habe da eine Statistikaufgabe, die ich mittels Aufleitung lösen muss. Ich hoffe, ihr könnt mir da weiterhelfen:

Berechnen Sie die Covarianz Cov(X,Y) für f(x,y) = 3x wenn 0 ≤ y ≤ x ≤ 1

Die Formel für Cov (X,Y) = E(XY) – E(X) x E(Y) wäre mittels Integral zu lösen:

E(X)=∫x⋅f(x)ⅆx   
E(Y)=∫y⋅f(y)ⅆx
E(XY)=∫xy⋅f(x,y)ⅆx
Die Aufleitungen machen mir da Schwierigkeiten.

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Du hast hier 2 Zufallsvariablen XX und YY, die sich eine gemeinsame Dichtefunktion teilen: f(x,y)=3x;0yx1bzw.x,y[0;1]    yxf(x,y)=3x\quad;\quad0\le y\le x\le1\quad\text{bzw.}\quad x,y\in[0;1]\;\land\;y\le x

Daher musst du bei der Berechnung der Erwartungswerte auch stets über beide Zufallsvariablen integrieren. Bei E(x)E(x) musst du darauf achten, dass x[y;1]x\in[y;1] und y[0;1]y\in[0;1] gilt. Das führt dazu, dass nach der Integration über dxdx noch ein yy durch die Integrationsgrenzen ins Spiel kommt. Daher musst du zuerst über dxdx und danach über dydy integrieren:E(x)=01dyy1dxxf(x,y)=01dyy1dx3x2=01dy[x3]x=y1E(x)=\int\limits_0^1dy\int\limits_y^1dx\, x\cdot f(x,y)=\int\limits_0^1dy\int\limits_y^1dx\, 3x^2=\int\limits_0^1dy\left[x^3\right]_{x=y}^1E(x)=01dy(1y3)=[yy44]01=34\phantom{E(x)}=\int\limits_0^1dy\left(1-y^3\right)=\left[y-\frac{y^4}{4}\right]_0^1=\frac{3}{4}

Bei E(y)E(y) ist x[0;1]x\in[0;1] und y[0;x]y\in[0;x]. Das führt dazu, dass nach der Integration über dydy noch ein xx durch die Integrationsgrenzen ins Spiel kommt. Daher musst du zuerst über dydy und danach über dxdx integrieren:E(y)=01dx0xdyxyf(x,y)=01dx0xdy3xy=01dx[32xy2]y=0xE(y)=\int\limits_0^1dx\int\limits_0^xdy\, xy\cdot f(x,y)=\int\limits_0^1dx\int\limits_0^xdy\, 3xy=\int\limits_0^1dx\left[\frac{3}{2}xy^2\right]_{y=0}^xE(y)=01dx32x3=[38x4]01=38\phantom{E(y)}=\int\limits_0^1dx\frac{3}{2}x^3=\left[\frac{3}{8}x^4\right]_0^1=\frac{3}{8}

Bei E(xy)E(xy) können wir uns die Integrationsreihenfolge aussuchen. Wegen Copy-Paste behalte ich die von gerade eben bei:
E(xy)=01dx0xdyxyf(x,y)=01dx0xdy3x2y=01dx[32x2y2]y=0xE(xy)=\int\limits_0^1dx\int\limits_0^xdy\, xy\cdot f(x,y)=\int\limits_0^1dx\int\limits_0^xdy\, 3x^2y=\int\limits_0^1dx\left[\frac{3}{2}x^2y^2\right]_{y=0}^xE(xy)=01dx32x4=[310x5]01=310\phantom{E(xy)}=\int\limits_0^1dx\frac{3}{2}x^4=\left[\frac{3}{10}x^5\right]_0^1=\frac{3}{10}Damit ist die gesuchte Kovarianz:Cov(x,y)=3103438=310932=4816045160=3160\text{Cov}(x,y)=\frac{3}{10}-\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{8}=\frac{3}{10}-\frac{9}{32}=\frac{48}{160}-\frac{45}{160}=\frac{3}{160}

Avatar von 153 k 🚀

Dennoch verstehe ich nicht, warum wir für E(X) auch nach dy integrieren müssen. Warum reicht es nicht, wenn ich schreibe:

E(x)=01xf(x,y)dxE(y)=01yf(x,y)dy bzw. E(xy)=01dx0xdyxyf(x,y) E(x) =\int \limits_{0}^{1} x \cdot f(x, y) d x \\ E(y)= \int \limits_{0}^{1} y \cdot f(x, y) d y \\ \text { bzw. } E(x y)=\int \limits_{0}^{1} d x \int \limits_{0}^{x} d y x y \cdot f(x, y)

Entschuldigung, dass ich dies als Bild hochgeladen habe. Irgendwie schaffe ich es nicht, vom Word hier hochzuladen.

Danke schön.

Die Zufallsvariablen x und y haben eine gemeinsame Dichtefunktion:f(x,y)=3x;0yx1f(x,y)=3x\quad;\quad 0\le y\le x\le 1

Zwar hängt f(x,y)f(x,y) nur von xx ab, aber im Definitionsbereich ist gefordert, dass yxy\le x gelten muss. Daher kannst du xx nicht unabhängig von yy betrachten und musst über beide Variablen integrieren.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage