Aloha :)
Du hast hier 2 Zufallsvariablen X und Y, die sich eine gemeinsame Dichtefunktion teilen: f(x,y)=3x;0≤y≤x≤1bzw.x,y∈[0;1]∧y≤x
Daher musst du bei der Berechnung der Erwartungswerte auch stets über beide Zufallsvariablen integrieren. Bei E(x) musst du darauf achten, dass x∈[y;1] und y∈[0;1] gilt. Das führt dazu, dass nach der Integration über dx noch ein y durch die Integrationsgrenzen ins Spiel kommt. Daher musst du zuerst über dx und danach über dy integrieren:E(x)=0∫1dyy∫1dxx⋅f(x,y)=0∫1dyy∫1dx3x2=0∫1dy[x3]x=y1E(x)=0∫1dy(1−y3)=[y−4y4]01=43
Bei E(y) ist x∈[0;1] und y∈[0;x]. Das führt dazu, dass nach der Integration über dy noch ein x durch die Integrationsgrenzen ins Spiel kommt. Daher musst du zuerst über dy und danach über dx integrieren:E(y)=0∫1dx0∫xdyxy⋅f(x,y)=0∫1dx0∫xdy3xy=0∫1dx[23xy2]y=0xE(y)=0∫1dx23x3=[83x4]01=83
Bei E(xy) können wir uns die Integrationsreihenfolge aussuchen. Wegen Copy-Paste behalte ich die von gerade eben bei:
E(xy)=0∫1dx0∫xdyxy⋅f(x,y)=0∫1dx0∫xdy3x2y=0∫1dx[23x2y2]y=0xE(xy)=0∫1dx23x4=[103x5]01=103Damit ist die gesuchte Kovarianz:Cov(x,y)=103−43⋅83=103−329=16048−16045=1603