ℕ als Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von ℝ?

Question

in diesem Lehrbuch werden die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen eingeführt. Dort heißt es zu Beginn:

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Eine Teilmenge \(M\subset \mathbb{R}\) heißt induktiv, falls gilt:

(a) \(1\in M\)

(b) \(x\in M \Rightarrow x+1\in M\)

Definition der natürlichen Zahlen:

\(\mathbb{N}:=\{x\in \mathbb{R}: \text{ Für jede induktive Menge } M\subset \mathbb{R} \text{ gilt } x\in M\}\)

In Worten: Die natürlichen Zahlen sind diejenigen Elemente von \(\mathbb{R}\), die in allen induktiven Mengen liegen.

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Wie ist diese Definition zu verstehen? Was sind denn überhaupt induktive Mengen in \(\mathbb{R}\)? Ist z. B. \(\{\pi,\pi+1, \pi+2\}\) eine induktive Menge? Vor allem der Satz:

Die natürlichen Zahlen sind diejenigen Elemente von \(\mathbb{R}\), die in allen induktiven Mengen liegen.

... ist für mich nicht zu verstehen. Was bedeutet es, wenn \(\mathbb{N}\) "in allen induktiven Mengen" liegt?

Answer 1

Sei \(M\) induktiv mit \(\pi\in M\). Dann enthält \(M\) wegen (b) auch \((\pi+1)\), \((\pi+1+1)\), \((\pi+1+1+1)\) usw. Da wegen (a) \(1 \in M\) ist, enthält \(M\) wegen (b) auch \((1+1)\), \((1+1+1)\), \((1+1+1+1)\) usw. Vielleicht wird es so ein wenig klarer.

Comments

Und was bedeutet, dass \(\mathbb{N}\) der Durchschnitt aller induktiven Mengen in \(\mathbb{R}\) ist? Als Kontinuum hat \(\mathbb{R}\) unendlich viele induktive Mengen.

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Das bedeutet, dass die Menge der natürliche Zahlen (ohne Null) eine Teilmenge jeder induktiven Menge ist.

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Macht natürlich Sinn, vor allem, weil bei einer induktiven Menge die \(1\) ein Element sein muss (und \(1\in \mathbb{N}\)). Eine Idee, wie man das grafisch darstellen könnte?

Wenn, wie du sagst: "die Menge der natürliche Zahlen (ohne Null) eine Teilmenge jeder induktiven Menge ist", so müsste \(\mathbb{N}\) doch in der Menge \(M\) liegen...?

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Ja, so ist es.

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Das setzt dann die Idee um, dass alles, was man von Eins aus durch wiederholtes Addieren von Eins erreichen kann, zu \(\mathbb{N}\) gehört. Z. B. ist \(3\in \mathbb{N}\), da mit \(1\) auch \(2\) in jeder induktiven Menge ist und dann auch \(3\). Z. B. ist \(2.5\notin \mathbb{N}\), denn offenbar ist \(\{1,2\}\cup \{x\in \mathbb{R}:x\geq 3\}\) induktiv und erhält \(2.5\) nicht.

Answer 2

{pi, 1+pi, 2+pi , ...} ist keine induktive Menge, weil sie die 1 nicht enthält.

Wohl aber wäre {0,5 ; 1; 1,5 ;2; 2,5 ; 3; 3,5 ; ….. }  eine solche.

Comments

Und was bedeutet, dass \(\mathbb{N}\) der Durchschnitt aller induktiven Mengen in \(\mathbb{R}\) ist? Als Kontinuum hat \(\mathbb{R}\) unendlich viele induktive Mengen.