Vektor als Linearkombination dreier Vektoren

Question

Hallo liebe Mathelounge,
ích habe ein kleines Verständnisproblem bei folgender Aufgabe:

Gegeben sind drei linear abhängige Vektoren:
$$\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4\\3\\-1 \end{pmatrix} \in ℝ^3$$
Folgenden Vektor soll ich als Linearkombination der drei gegebenen Vektoren darstellen: $$\begin{pmatrix} -3\\4\\7 \end{pmatrix}$$ 
Daraus ergibt sich für mich das folgende Gleichungssystem:
$$\begin{pmatrix} -3\\4\\7 \end{pmatrix} = a*\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} +b*\begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix}+c*\begin{pmatrix} 4\\3\\-1 \end{pmatrix}$$
( I )    -3 = a - 2b + 4c
( II )    4 = 2a + b + 3c
( III )   7 = a + 3b - c

In ( I ) löse ich nach a auf und erhalte:
a = -3 + 2b - 4c

Mit dem Wissen löse ich in ( II ) nach b auf und erhalte:
b = 2 + c

Abschließend möchte ich in ( III ) nach c auflösen und erhalte:
7 = 7 + 0c, bzw. 7 = 7

7 = 7 ist ja durchaus eine wahre Aussage, aber was folgert daraus? 
Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich unterwegs keine Rechenfehler gemacht habe, kann diese aber bei Bedarf gerne noch hinzufügen.

Wenn ich z.B. daraus folgern würde, dass c = 0 ist, könnte ich daraus wiederum folgern, dass b = 2 ist und a = 1, was auch zu einem richtigen Endergebnis führen würde.
$$\begin{pmatrix} -3\\4\\7 \end{pmatrix} = 1*\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} +2*\begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix}+0*\begin{pmatrix} 4\\3\\-1 \end{pmatrix} $$
Habe zu solchen Fällen wo in einem Gleichungssystem letztendlich 2 Zahlen gegenüberstehen nichts gefunden, weshalb ich es gerne hier wieder versuchen möchte.

Was mich vielleicht auch noch interessieren würde, wäre, ob es einen besseren Weg gibt solche Gleichungssysteme zu lösen, ich bin da ja wie man vielleicht sieht relativ simpel daran gegangen und habe quasi den Buchstaben nach absteigend aufgelöst in der Reihenfolge von ( I ) bis ( III ).

Mit freundlichen Grüßen!

Answer 1

Aloha :)

Deine 3 Vektoren sind ja linear abhängig, konkret ist:

$$2\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)+(-1)\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\1\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\3\\-1\end{array}\right)$$

Daher hilft dir der dritte Vektor zunächst nicht weiter, du musst es erstmal schaffen, den Vektor \((-3;4;7)^T\) als Linearkombination der beiden anderen auszurdücken:

$$1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\1\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\4\\7\end{array}\right)$$

Damit hast du eine mögliche Linerakombination gefunden. Wegen der linearen Abhängigkeit des dritten Vektors oben, kannst du links vom Gleichheitszeichen folgenden Nullvektor addieren:$$\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}-2\\1\\3\end{array}\right)+\lambda\overbrace{\left[\left(\begin{array}{c}4\\3\\-1\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-2\\1\\3\end{array}\right)\right]}^{=\vec 0}=\left(\begin{array}{c}-3\\4\\7\end{array}\right)$$

$$(1-2\lambda)\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)+(2+\lambda)\left(\begin{array}{c}-2\\1\\3\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}4\\3\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\4\\7\end{array}\right)$$

Wegen \(\lambda\in\mathbb{R}\) gibt es unendlich viele der gesuchten Linearkombinationen. Und genau das spiegelt das Ergebnis deiner Rechnung wider. Die Bedingung \(7=7\) ist immer erfüllt, d.h. du musst einen Parameter (hier \(\lambda\)) völlig frei wählen können.

Answer 2

Hallo

dass dein Ergebnis stimmt, kannst du ja sehen.

 für c kannst du eine beliebige Zahl wählen, a und b sind dann entsprechend.

 aber da die Vektoren wie du selbst sagst linear abhängig sind kann du, wenn es überhaupt geht immer einen von ihnen weglassen und eine Linearkombination der 2 anderen nehmen.

Das übliche Verfahren ist das Gaussverfahren, wenn du das nicht kennst sieh da nach:

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

 Gruß lul