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Hallo, ich habe Schwierigkeiten bei der unten stehenden Aufgabe.

Ich weiß leider nicht wirklich, wie man einen Vektor als Linearkombination darstellt oder wie man zeigt, dass bestimmte Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind.


1. Gegeben sind die Vektoren \( \vec{v1} \) = (5, 4, 3)t, \( \vec{v2} \) = (-5, 4, 1)t, \( \vec{v3} \) = (5, 4, -3)t und \( \vec{u} \) = (1, 1, 1)t des Vektorraums ℝ3. Stellen Sie \( \vec{u} \) als Linearkombination der Vektoren \( \vec{v1} \) , \( \vec{v2} \) und \( \vec{v3} \) dar. Geben Sie Ihren Lösungsweg an.

2. Sei (V, +, ·) ein K-Vektorraum. \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) und \( \vec{w} \) seien beliebige Vektoren in V. Zeigen Sie:
Die Vektoren \( \vec{u} \) - \( \vec{v} \), \( \vec{v} \) - \( \vec{w} \) und \( \vec{w} \) - \( \vec{u} \) sind linear abhängig.

3. Gegeben sind die Vektoren \( \vec{v1} \) = (1, 1, 1, 1)t, \( \vec{v2} \) = (0, 2, -3, 0)t, \( \vec{v3} \) = (1, 2, -1, 0)t und \( \vec{v4} \) = (1, 2, 2, -1)t des Vektorraums ℝ4. Zeigen Sie, dass die Vektoren \( \vec{v1} \), \( \vec{v2} \), \( \vec{v3} \) und \( \vec{v4} \) linear unabhängig sind.


Ich wäre für Lösungswege / Lösungsansätze sehr dankbar.

MfG

vor von

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Beste Antwort

1) wähle den Ansatz

u =  x*v1 + y*v2 + z*v3

und berechne xyz aus den 3 entstehenden Gleichungen

1 = 5x -5y + 5z
1 = 4x + 4y + 4z
1= 3x + y  -3z

ich bekomme (rechne lieber nach)

x=11/40    y=1/40  z=-1/20

vor von 155 k

Hallo, vielen Dank für die Antwort. Habe nachgerechnet und komme auf dasselbe Ergebnis. Ist die Linearkombination dann ein Vektor

11/40

1/40

-1/20

oder einfach die Lösungsmenge x = 11/40, y = 1/40 und z = -1/20 oder wie soll ich das verstehen?


Und wie zeige ich in den darauffolgenden Teilaufgaben, ob die Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind?


Danke schon mal im Voraus,

MfG

Die Linearkombination ist einfach nur

u =  x*v1 + y*v2 + z*v3

mit den eigesetzten Werten von xyz.

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