Bedingung Polynomfunktion (3. Gr.) schneidet x-Achse

Question

Aufgabe:

Eine Polynomfunktion 3. Grades schneidet die x-Achse bei x=1 und besitzt im Punkt

W(1/3 | 2/9) einen Wendepunkt.

Die Wendetangente hat eine Steigung von k=2/3.

Problem/Ansatz:

Wie schreibt man die Funktion bei x = 1? 

vielen Dank im Voraus

Answer 1

Wie schreibt man die Funktion bei x = 1? 

Da bei x = 1 die x-Achse geschnitten wird ist es eine Nullstelle und du schreibst

f(1) = 0

Ansonsten kannst du dir von http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm helfen lassen:

Comments

Vielen dank,leider habe ich problem mit

“http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm”

Es schreibt immer “Klammer erwartet”

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Wie hast du es versucht einzugeben? Ich habe je oben extra einen Screenshot gemacht damit du siehst wie man das eingeben kann. Eigentlich funktioniert es dann auch.

Du brauchst dabei nur das Feld mit den Eigenschaften ausfüllen, den Rest berechnet er dann bei richtiger Eingabe.

Answer 2

Aloha :)

Eine Polynomfunktion 3-ten Grades sieht wie folgt aus:$$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$Ihre Ableitungen sind:$$p'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$p''(x)=6ax+2b$$Ich empfehle immer, bei solchen Steckbriefaufgaben mit der Forderung an die höchste Ableitung zu beginnen, weil die Gleichungen kürzer sind und man dann einfach Unbekannte durch andere ersetzen kann.

Der Wendepunkt liegt bei $x=1/3$, also ist dort die zweite Ableitung $=0$:$$0=p''\left(\frac{1}{3}\right)=6a\cdot\frac{1}{3}+2b=2a+2b\quad\Rightarrow\quad0=2a+2b\quad\Rightarrow\quad \underline{b=-a}$$Die Wendetangente hat die Seigung $k=2/3$ heißt, dass die erste Ableitung im Wendepunkt bei $x=1/3$ den Wert $2/3$ hat:

$$\frac{2}{3}=p'\left(\frac{1}{3}\right)=3a\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2+\underbrace{2b}_{=-2a}\cdot\frac{1}{3}+c=\frac{a}{3}-\frac{2}{3}a+c=-\frac{a}{3}+c$$$$\Rightarrow\quad\frac{2}{3}=-\frac{a}{3}+c\quad\Rightarrow\quad2=-a+3c\quad\Rightarrow\quad3c=a+2\quad\Rightarrow\quad \underline{c=\frac{a+2}{3}}$$Die Funktion schneidet die x-Achse bei $x=1$, das heißt:$$0=p(1)=a+b+c+d\quad\Rightarrow\quad d=-(a+b+c)=-(a-a+c)\quad\Rightarrow\quad \underline{d=-c}$$Als letztes haben wir noch die Koordinaten des Wendepunktes $W(1/3\,;\;2/9)$:

$$\frac{2}{9}=p\left(\frac{1}{3}\right)=a\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3+b\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2+c\cdot\frac{1}{3}+d$$$$\phantom{\frac{2}{9}}=a\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3-a\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2+c\cdot\frac{1}{3}-c=\left(\frac{1}{27}-\frac{1}{9}\right)a-\frac{2}{3}\cdot\underbrace{\left(\frac{a}{3}+\frac{2}{3}\right)}_{=c}$$$$\phantom{\frac{2}{9}}=\left(\frac{1}{27}-\frac{3}{27}\right)a-\frac{6}{27}a-\frac{4}{9}=-\frac{8}{27}a-\frac{4}{9}\quad\Rightarrow\quad-\frac{8}{27}a=\frac{6}{9}\quad\Rightarrow\quad a=-\frac{9}{4}$$

Jetzt kannst du alles zusammenbauen:$$a=-\frac{9}{4}\quad;\quad b=-a=\frac{9}{4}\quad;\quad c=\frac{a+2}{3}=-\frac{1}{12}\quad;\quad d=-c=\frac{1}{12}$$$$\Rightarrow\quad p(x)=-\frac{9}{4}x^3+\frac{9}{4}x^2-\frac{1}{12}x+\frac{1}{12}$$

Answer 3

Eine Polynomfunktion 3. Grades
f ( x ) = a*x³ + b*x² + c*x + d
f ´( x ) = 3a*x² + 2b*x + c
f ´´ ( x ) = 6x + 2b

schneidet die x-Achse bei x=1
f ( 1 ) = 0

und besitzt im Punkt
W(1/3 | 2/9) einen Wendepunkt.
f ( 1/3 ) = 2/9
f ´´ ( 1/3 ) = 0

Die Wendetangente hat eine Steigung von k=2/3.
f ´ ( 1/3)  = 2/3

Angaben
f ( 1 ) = 0
f ( 1/3 ) = 2/9
f '' ( 1/3 ) = 0
f '  ( 1/3)  = 2/3

Daraus das lineare Gleichungssystem
entwickelt
a + b + c + d = 0
1/27·a + 1/9·b + 1/3·c + d = 2/9
2·a + 2·b = 0
1/3·a + 2/3·b + c = 2/3

Und das Ergebnis für die Funktion
f ( x ) = -9/4·x³ + 9/4·x² - 1/12·x + 1/12

Problem/Ansatz:
Wie schreibt man die Funktion bei x = 1? 

Ist das eine Frageformulierung von dir ?
Was ist gemeint ?

Ansonsten : frag´ nach bis alles klar ist.

Comments

Du  gehst nach
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

und gibst im Feld
" Eigenschaften eingeben "

f ( 1 ) = 0
f ( 1/3 ) = 2/9
f ' ' ( 1/3 ) = 0
f '  ( 1/3)  = 2/3

ein ( Die 4 obigen Zeilen kopieren und dort einfügen )

und drückst die Schaltfläche " berechnen ".
Dann wird dir die Funktion berechnet.

Answer 4

Wenn die Funktion die x-Achse schneiden soll, muss dort der Funktionswert null sein.

Also f(1) = 0 ⇔ a + b + c + d = 0.