Welches sind die Wurzeln der Gleichung f(s)= ks³+s+1?

Question

Aufgabe:

Wie kann man die Gleichung ks³+s+1 zerlegen um Diskussion nach k zu machen?

Nachtrag aus Kommentar:

Es geht darum die Polstellen eines Rückgekopeltes Systems zu berechnen. s1 und s2 von ks³+s+1=0 Gleichung müssen negativ sein (oder das Realteil soll negativ sein) damit das System stabil ist. Ich möchte k erfahren für dem die Anforderung erfült ist.

Comments

Von welcher Veränderlichen hängt die Funktion denn ab?

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Hallo Melden
Die Funktion hängt von s ab, also Gleichung dritter Ordnung.

Answer 1

Die Nullstellen kannst du hier nicht raten, brauchst du die? Steht die Frage in Verbindung zu einer anderen Aufgabe? Bitte vollständig angeben. Du machst ja grad viele Laplacetransf.

PS:

f'(s)=3ks^2 +1

Für k>0 gibt es nur eine Nullstelle, da die Funktion nur monoton wächst.

Comments

Das ist keine Gleichung, sondern ein Term.

Was willst du berechnen?

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Es geht darum die Polstellen eines Rückgekopeltes Systems zu berechnen. s1 und s2 von ks³+s+1=0 Gleichung müssen negativ sein (oder das Realteil soll negativ sein) damit das System stabil ist. Ich möchte k erfahren für dem die Anforderung erfült ist.

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@Gast jc2144 Gibt es eine Möglichkeit wie ich dieses Term in Funktion von k beschreiben konnte?

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Für z.B. k= 1 gibt es eine reelle Lösung und zwei komplexe Lösungen die zueinander konjugiert komplex sind. Also insgesamt drei verschiedene Lösungen

 

Answer 2

Das sieht nach einem Fall für die Cardanische Formel aus. Bei Wikipedia findet man einen ausführlichen Artikel, der mir aber zu hoch ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln#Die_Cardanische_Formel_zur_Aufl%C3%B6sung_der_reduzierten_Form_z%C2%B3_+_pz_+_q_=_0

Comments

@Herr_P

Tipp: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html

Teile also durch \(k\) und substituiere!

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Der Artikel ist ja auch Scheiße, wie viele math. Artikel in Wikipedia.

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Da stimme ich dir zu. Er ist leider (zu) spartanisch.

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Der Artikel ist nicht "spartanisch", sondern einfach nur völlig bescheuert und falsch. Die ganzen Erklärungen und Fallunterscheidungen sind blödsinnig und sinnlos. Hier hat ein Autor nicht im Geringsten begriffen, worum es geht, und wie und warum irgendwelche Formeln bei der Lösung kubischer Gleichungen angewendet werden sollten (und nicht: müssten).

Der Hinweis auf die Vieta-Substitution ist auch nicht besser.