Teilerfremdheit bei Zählern und Nennern von Brüchen

Question

Liebe Lounge,

folgende Frage:

Wenn zwei Brüche \( \frac{a}{b} \) und \( \frac{c}{d} \) addiert werden sollen, mit den folgenden Eigenschaften:

b ≠ d, also nicht gleichnamig und a,b sowie c,d jeweils teilerfremd, also vollständig gekürzt, sowie b und d sind keine Vielfachen von einander.

Nun sollen die Brüche mithilfe des Hauptnenners erweitert werden und anschließend addiert werden.

Stimmt nun folgende Aussage (und falls ja, könnte jemand ggf. einen Beweis aufzeigen, bitte):

Das Ergebnis ist stets ein Bruch \( \frac{e}{f} \) mit e und f teilerfremd. Also ist das Ergebnis komplett gekürzt.

Habe es mit diversen Beispielen durchprobiert. Beispiele bei denen die Aussage nicht stimmt ist z.B. \( \frac{1}{6} \) + \( \frac{1}{18} \) =  \( \frac{3}{18} \) +  \( \frac{1}{18} \) =  \( \frac{4}{18} \) =  \( \frac{2}{9} \) .

Ich habe weitere Beispiele gefunden, aber immer war dann der eine Nenner bereits ein Vielfaches von dem anderen.

Könntet ihr dazu mal bitte Stellung nehmen?

Vielen Dank

Kombinatrix

Answer 1

Das Ergebnis ist stets ein Bruch e/f mit e und f teilerfremd. Also ist das Ergebnis komplett gekürzt.

Die Summe zweier Brüche ist IMMER ein Bruch. Und einen Bruch kann man IMMER so lange kürzen, bis Zähler und Nenner teilerfremd sind.

Wenn du etwas anderes meinst, dann formuliere dein Anliegen klarer.

Wenn dir das hilft: Die gesuchte Summe hat die Form \( \frac{ad+bc}{bd} \)

Comments

Okay. Dass die Summe immer ein Bruch ist ist einleuchtend.

Okay ich formuliere sie anders:

Kannst du mir ein Beispiel einer Summe geben mit zwei Summanden, welche die genannten Eigenschaften (s.o.) aufweisen und das Ergebnis nicht automatisch vollständig gekürzt ist?

Answer 2

 

Kannst du mir ein Beispiel einer Summe geben mit zwei Summanden, welche die genannten Eigenschaften (s.o.) aufweisen und das Ergebnis nicht automatisch vollständig gekürzt ist?

Meinst du so etwas?

\(\dfrac{1}{6}+ \dfrac{2}{9} = \dfrac{6+8}{36}=\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}\)

Nachtrag:

Da der Haupnenner (18) wegen des gemeinsamen Teilers 3 bereits kleiner als des Produkt der Nenner ist, lässt sich das Ergebnis mit dem Hauptnenner b*d natürlich durch 3 kürzen.

Gruß Wolfgang

Comments

Aber dann hätte man die Brüche ja gerade nicht mithilfe des Hauptnenners erweitert.

Das soll ja Voraussetzung sein.

Answer 3

Ein Bruch \( \frac{e}{f} \) mit e und f teilerfremd ist  komplett gekürzt.

Begründung: Es gibt keinen gemeinsamen Teiler, mit dem man kürzen könnte.

\( \frac{a}{b} \) +\( \frac{c}{d} \) =\( \frac{ad+cb}{bd} \) .