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Aufgabe:

 Wir betrachten das komplexe Skalarprodukt , auf C3 gegeben durch (x1x2x3),(y1y2y3)=x1y1+x2y2+x3y3+i2x2y1+i2x3y2i2x1y2i2x2y3\begin{array}{l}{\text { Wir betrachten das komplexe Skalarprodukt }\langle,\rangle \text { auf } \mathbb{C}^{3} \text { gegeben durch }} \\ {\qquad\left\langle\left(\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{y_{1}} \\ {y_{2}} \\ {y_{3}}\end{array}\right)\right\rangle= x_{1} \cdot \overline{y_{1}}+x_{2} \cdot \overline{y_{2}}+x_{3} \cdot \overline{y_{3}}+\frac{i}{2} x_{2} \cdot \overline{y_{1}}+\frac{i}{2} x_{3} \cdot \overline{y_{2}}-\frac{i}{2} x_{1} \cdot \overline{y_{2}}-\frac{i}{2} x_{2} \cdot \overline{y_{3}}}\end{array}


 (a) Geben Sie die Darstellungsmatrix von , an.  (b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von C3 bezu¨glich ,. (c) Sei U={(x1,x2,x3)TC3x2=0}. Bestimmen Sie eine Basis des orthogonalen  Komplements U von U bezu¨glich , in C3 . \begin{array}{l}{\text { (a) Geben Sie die Darstellungsmatrix von }\langle,\rangle \text { an. }} \\ {\text { (b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von } \mathbb{C}^{3} \text { bezüglich }\langle,\rangle .} \\ {\text { (c) Sei } U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \in \mathbb{C}^{3} | x_{2}=0\right\} . \text { Bestimmen Sie eine Basis des orthogonalen }} \\ {\text { Komplements } U^{\perp} \text { von } U \text { bezüglich }\langle,\rangle \text { in } \mathbb{C}^{3} \text { . }}\end{array}


Problem/Ansatz:

Ich finde leider keinen sinnvollen Ansatz für a).

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Aloha :)

Bei der (a) sollst du eine Matrix A=(aik)A=(a_{ik}) finden, sodass:

<(x1x2x3),(y1y2y3)>=(y1,y2,y3)(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)(x1x2x3)\left<\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\right>=(y_1,y_2,y_3)\cdot\left(\begin{array}{c}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)Besonders einfach wird das, wenn wir die "Einheitsvektoren" verwenden:

<(100),(100)>=1  ;  <(100),(010)>=i2  ;  <(100),(001)>=0\left<\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\right>=1\;;\;\left<\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right>=-\frac{i}{2}\;;\;\left<\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\right>=0<(010),(100)>=i2  ;  <(010),(010)>=1  ;  <(010),(001)>=i2\left<\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\right>=\frac{i}{2}\;;\;\left<\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right>=1\;;\;\left<\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\right>=-\frac{i}{2}<(001),(100)>=0  ;  <(001),(010)>=i2  ;  <(001),(001)>=1\left<\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\right>=0\;;\;\left<\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right>=\frac{i}{2}\;;\;\left<\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\right>=1Daraus kannst du die Abbildungsmatrix ablesen:

A=(1i20i21i20i21)A=\left(\begin{array}{c}1&\frac{i}{2}&0\\-\frac{i}{2}&1&\frac{i}{2}\\0&-\frac{i}{2}&1\end{array}\right)Jetzt kannst du mit Teil (b) weitermachen...

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