Eigenwerte und Eigenraum symmetrische Matrix R^2x2

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Wir betrachten die Menge }} \\ {\qquad M_{2} :=\left\{A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} | A^{T}=A\right\}} \\ {\text { aller symmetrischen reellen }(2 \times 2) \text { -Matrizen. Sei fermer }} \\ {\qquad A=\left(\begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {b} & {a}\end{array}\right) \in M_{2}} \\ {\text { mit } a, b \in \mathbb{R}}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{\text { (c) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenräume zu obigem } A \in M_{2} .(3 \text { Punkte) }}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

Prinzipiell weiß ich wie man Eigenwerte und Eigenräume über das charakteristische Polynom berechnet. Nur bringt mich das Gewurschtel mit a und b auf völlig krumme Sachen. Als Eigenwerte habe ich $$-a-\sqrt{b}$$ und $$-a+\sqrt{b}$$.

Bei den Eigenräumen weiß ich irgendwann nicht mehr weiter, weil ich einen total krummen Bruch in der Matrix habe.

Answer 1

Es ist doch det ( A - x*E) = x^2 - 2ax +a^2 - b^2

    und das ist 0 für x=a-b oder für x=a+b.

Damit a-b und a+b die Eigenwerte.

Und die Eigenräume dazu bekommt für den ersten mit

   A - (a-b) * E = 0

    b       b
    b       b

bzw.

            b     b
            0     0

also  etwa x2=t und   b*x1 + b*t = 0 , also x1= -t

jedenfalls für b≠0 , also sind ( -t ; t ) ^T die

Eigenvektoren bzw.  ( -1 ; 1 ) ^T  eine Basis.

etc. Vergiss nicht den Fall a=0 oder b=0 .

Answer 2

Die Eigenwerte sind ´meiner Meinung nach \( \lambda_1 = a-b \) und \( \lambda_2 = a+b \)

Wie hast Du gerechnet?

Comments

oh ich hatte bei der Verwendung der pq-Formel das quadrat vom b vergessen

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Die Eigenvektoren sind \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \).

Answer 3

Aloha :)

Es kommt bei typischen Klausur- oder Übungsaufgaben nicht selten vor, dass die Summe in allen Zeilen oder die Summe in allen Spalten einer Matrix gleich ist. Hier ist die Summe aller Spalten \(a+b\). In einem solchen Fall ist diese Summe immer ein Eigenwert der Matrix und der zugehörige Eigenveltor besteht aus lauter \(1\)en.

$$\left(\begin{array}{c}a & b\\b & a\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)=\underbrace{(a+b)}_{=\lambda_1}\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)$$

Die Spur einer Matrix (=Summe der Hauptdiagonalen) ist immer gleich der Summe ihrer Eigenwerte. Damit kannst du den zweiten Eigenwert sofort hinschreiben:

$$(a+b)+\lambda_2=2a\;\;\Leftrightarrow\;\;\lambda_2=a-b$$Den zugehörigen Eigenvektor kann man ausrechnen: \(\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)\). Bei der Angabe der Eigenräume bitte daran denken, dass man einen Eigenvektor mit jeder Zahl \(\ne0\) multiplizieren darf und dieser trotzdem ein Eigenvektor zu dem Eigenwert bleibt.