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Guten Tag ich habe eine Gleichung von der 1er Komplementdarstellung und es ist mir nicht ganz Schlüssig, wie man von dem vorletzten Schritt auf den letzten kommt. Die Gleichung lauter :

-X_1c = \( \sum\limits_{n=0}^{n-1}{(1-x_i)*2^i} \) = \( \sum\limits_{n=0}^{n-1}{2^i} \)- \( \sum\limits_{n=0}^{n-1}{x_i*2^i} \) = 2^n - 1 - |X_1c|

wobei |X_1c| = \( \sum\limits_{n=0}^{n-1}{x_i*2^i} \)

also genauer gefragt, wie kommt man von \( \sum\limits_{n=0}^{n-1}{2^i} \) auf 2^n - 1

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Aloha :)

In \((0001'1111)_2\) sind die Bits von 0 bis 4 gesetzt. Eine \(1\) dazu addiert ergibt \((0010'0000)_2\), das heißt die Bits 0 bis 4 werden gelöscht, dafür wird Bit 5 gesetzt. Formal haben wir folgende Situation:

$$\left(\sum\limits_{i=0}^{4}2^i\right)+1=2^5\quad\Leftrightarrow\quad\sum\limits_{i=0}^{4}2^i=2^5-1$$Mit dieser Idee ist sofort klar:

$$\sum\limits_{i=0}^{n-1}2^i=2^n-1$$

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Die Gleichung \( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{2^i} \) =2n - 1 kann man durch vollständige Induktion beweisen.

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Das im binären (zur Basis 2) z.B.

1111 + 1 = 10000

gilt sollte eventuell klar sein. nichts anderes besagt die Gleichung.

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Das ist die Formel für die geometrische Reihe.

z.B. für n=4

2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 2^4 - 1

 1 + 2 + 4 + 8    = 16 - 1

                   15   =   15

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