Nullstelle der Funktion 2e^x-e^-x

Question

Hallo :) Ich habe die Funktion 2e^x-e^-x...wie berechne ich die Nullstelle?

Leider habe ich gar keinen Ansatz...

Answer 1

\(2e^x-e^{-x}=0 \Leftrightarrow 2e^{2x}-1=0\)

\(\Leftrightarrow e^{2x}=0.5 \Leftrightarrow 2x=\ln(0.5) \)

\(\therefore x=\frac{\ln(0.5)}{2} \approx -0.347\)

Comments

hallo ich verstehe den ersten Schritt nicht...wie komme ich dazu?

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multipliziere mit \(e^x\). Beachte, dass man \(e^{-x}=\frac{1}{e^x}\) schreiben kann, also:$$\frac{1}{e^x}\cdot e^x=\frac{e^x}{e^x}=1$$ und...$$e^x\cdot e^x=(e^x)^2=e^{2x}$$ ... nach dem Potenzgesetzen

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danke!!!! :)

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Gerne! :) LG

Answer 2

$$ 2e^{x} - e^{-x} = 0 $$$$ \Longleftrightarrow e^{-x} \cdot ( 2e^{2x} - 1 ) = 0 $$$$ e^{-x} = 0 \quad  \Rightarrow  \text{ keine Lösung}$$$$ 2e^{2x} - 1 = 0 $$$$ \Longleftrightarrow e^{2x} = \frac 1 2 $$$$ \Longleftrightarrow {2x} = - \ln(2) $$$$ \Longleftrightarrow x = - \frac 1 2 \cdot \ln(2) $$

Comments

Hübscher Lösungsweg! :-)

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Ich habe mir eine kleine Korrektur der \(\LaTeX\)-Darstellung erlaubt.

Tipps:

Schreibe statt ln und <=> lieber:

\ln , \Leftrightarrow bzw. \Longleftrightarrow 

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danke sehr!! :)

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Danke sehr @racine_carrée !

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@racine Kürzer ist \iff (if and only if)

$$ \iff $$

Genauso \implies und \impliedby

$$ \implies \impliedby $$

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Das ist richtig, allerdings kann man diese in der Größe nicht ändern:

\(\Longleftrightarrow\), \(\Leftrightarrow\) sowie \(\Longrightarrow\) , \(\Rightarrow\)

Weiterhin kann man auch noch: \(\longleftrightarrow\) oder \(\longrightarrow\)

Answer 3

$$2e^x-e^{-x}=0$$ auf beiden Seiten mit \( e^{x} \) multiplizieren,   \( e^{x} =z\)  substituieren und die entstehende quadratische Gleichung lösen.

Anschließend Rücksubstitution.

Comments

e^x *e^x = (e^x)^2 und das dann einfach als z^2 schreiben?

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Ja, du erhältst z²-1=0.

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Man erhält \(2z^2-1=0\)

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Danke für die Korrektur des Flüchtigkeitsfehlers.

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Danke der Hervorhebung der Flüchtigkeit wegens, ich habe schon gedacht, dass du einen richtigen Fehler gemacht hättest ;)