Aloha :)
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person einen Kaffee trinkt ist \(p=\frac{3}{4}=75\,\%\). Du sollst hier nur zwischen Kaffee-Trinkern und Nicht-Kaffee-Trinkern unterscheiden, hast es also mit einer Binomialverteilung zu tun. Das Interessante ist hier, dass alle Teilfaufgaben unterschiedlich gelöst werden.
1) Wahrscheinlichkeit, dass von 30 Personen der 1-ten Klasse \(\ge\)28 einen Kaffee trinken.
$$p_1=\underbrace{\binom{30}{28}p^{28}(1-p)^2}_{\text{genau 28 Gäste}}+\underbrace{\binom{30}{29}p^{29}(1-p)^1}_{\text{genau 29 Gäste}}+\underbrace{\binom{30}{30}p^{30}(1-p)^0}_{\text{genau 30 Gäste}}$$$$\phantom{p_a}=\binom{30}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{28}\left(\frac{1}{4}\right)^2+\binom{30}{1}\left(\frac{3}{4}\right)^{29}\left(\frac{1}{4}\right)^1+\binom{30}{0}\left(\frac{3}{4}\right)^{30}\left(\frac{1}{4}\right)^0$$$$\phantom{p_a}=\frac{30}{2}\cdot\frac{29}{1}\cdot\frac{3^{28}}{4^{30}}+\frac{30}{1}\cdot\frac{3^{29}}{4^{30}}+\frac{3^{30}}{4^{30}}=\frac{3^{28}}{4^{30}}\left(15\cdot29+30\cdot3+3^2\right)$$$$\phantom{p_a}=\frac{3^{28}}{4^{30}}\cdot534=\underline{0,010596}$$
2) Wahrscheinlichkeit, dass von 270 Personen, zwischen 190 und 220 einen Kaffee trinken.
$$p_2=\sum\limits_{k=190}^{220}\binom{270}{k}p^k(1-p)^{270-k}$$Das Problem ist hier, dass man die Rechnung aus Teil (1) nicht wirklich für 30 anstatt für 3 Fälle durchrechnen möchte. Glücklicherweise kann man die Binomialverteilung sehr gut durch eine Normalverteilung annähern, wenn die Standardabweichung der Binomialverteilung, also \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\), mindestens \(3\) ist. Hier ist \(n=270\), \(p=0,75\) und \((1-p)=0,25\). Daher ist \(\sigma=7,115125\) und wir können eine Normalverteilung als sehr gute Näherung wählen.$$\mu=np=202,5\quad;\quad\sigma=7,115125$$Zum Einsetzen in die Standard-Normalverteilung normalisieren wir Unter- und Obergrenze:
$$z_u=\frac{(190-0,5)-\mu}{\sigma}=-1,827094\quad;\quad z_o=\frac{(220+0,5)-\mu}{\sigma}=2,529822$$Die Subtraktion von \(0,5\) bzw. Addition von \(0,5\) nennt man "Stetigkeitskorrektur", sie ist bei ganzen Zahlen für genaue Ergebnisse wichtig. Einer Tabelle zur Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) entnehmen wir nun die Werte:
$$p_2=\Phi(2,529822)-\Phi(-1,827094)=0,994294-0,033843=\underline{0,960451}$$
(3) Wie viele Personen \(k\) müssen mindestens bedient werden, damit die Wahrscheinlichkeit für min. 1 Kaffee-Trinker größer als 99% ist? Hier kannst du auch fragen, wie viele Personen \(k\) brauchst du, damit die Wahrscheinlichkeit, dass keiner einen Kaffee trinkt, kleiner als 1% ist.
$$(1-p)^k<0,01\;\;\Leftrightarrow\;\;\left(\frac{1}{4}\right)^k<\frac{1}{100}\;\;\Leftrightarrow\;\;4^k>100\;\;\Leftrightarrow\;\;k>\frac{\ln(100)}{\ln(4)}\approx3,3219$$Ab \(k=4\) Personen muss mit mindestens 99% Wahrscheinlichkeit wenigstens 1 Kaffee verteilt werden.
