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Aufgabe:

Die Luftgesellschaft weiß aus Erfahrung ,

dass 75% der Passagiere Kaffee trinken.

Die Wahrscheinlichkeit,dass von 30 Passagieren der ersten Klasse mindestens 28 Passagiere Kaffe trinken => 0,01059


Problem/Ansatz:

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass von den 270 Passagieren zwischen 190 und 220 Passagiere Kaffee trinken?

 Was ist p hier? Wie sieht diese Gleichung als Binomialverteilungsformel  aus?


b) Wie viele Passagiere müssen mindestens bedient werden, damit die Wahrscheinlichkeit, zumindest einen Kaffeetrinker darunter zu finden, 99% übersteigt?

=> Bei dieser Frage weiß ich überhaupt nicht, wie ich das schreiben muss.


Können Sie mir helfen?

Danke im Voraus !

von

4 Antworten

+4 Daumen

Aloha :)

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person einen Kaffee trinkt ist \(p=\frac{3}{4}=75\,\%\). Du sollst hier nur zwischen Kaffee-Trinkern und Nicht-Kaffee-Trinkern unterscheiden, hast es also mit einer Binomialverteilung zu tun. Das Interessante ist hier, dass alle Teilfaufgaben unterschiedlich gelöst werden.

1) Wahrscheinlichkeit, dass von 30 Personen der 1-ten Klasse \(\ge\)28 einen Kaffee trinken.

$$p_1=\underbrace{\binom{30}{28}p^{28}(1-p)^2}_{\mbox{genau 28 Gäste}}+\underbrace{\binom{30}{29}p^{29}(1-p)^1}_{\mbox{genau 29 Gäste}}+\underbrace{\binom{30}{30}p^{30}(1-p)^0}_{\mbox{genau 30 Gäste}}$$$$\phantom{p_a}=\binom{30}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{28}\left(\frac{1}{4}\right)^2+\binom{30}{1}\left(\frac{3}{4}\right)^{29}\left(\frac{1}{4}\right)^1+\binom{30}{0}\left(\frac{3}{4}\right)^{30}\left(\frac{1}{4}\right)^0$$$$\phantom{p_a}=\frac{30}{2}\cdot\frac{29}{1}\cdot\frac{3^{28}}{4^{30}}+\frac{30}{1}\cdot\frac{3^{29}}{4^{30}}+\frac{3^{30}}{4^{30}}=\frac{3^{28}}{4^{30}}\left(15\cdot29+30\cdot3+3^2\right)$$$$\phantom{p_a}=\frac{3^{28}}{4^{30}}\cdot534=\underline{0,010596}$$

2) Wahrscheinlichkeit, dass von 270 Personen, zwischen 190 und 220 einen Kaffee trinken.

$$p_2=\sum\limits_{k=190}^{220}\binom{270}{k}p^k(1-p)^{270-k}$$Das Problem ist hier, dass man die Rechnung aus Teil (1) nicht wirklich für 30 anstatt für 3 Fälle durchrechnen möchte. Glücklicherweise kann man die Binomialverteilung sehr gut durch eine Normalverteilung annähern, wenn die Standardabweichung der Binomialverteilung, also \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\), mindestens \(3\) ist. Hier ist \(n=270\), \(p=0,75\) und \((1-p)=0,25\). Daher ist \(\sigma=7,115125\) und wir können eine Normalverteilung als sehr gute Näherung wählen.$$\mu=np=202,5\quad;\quad\sigma=7,115125$$Zum Einsetzen in die Standard-Normalverteilung normalisieren wir Unter- und Obergrenze:

$$z_u=\frac{(190-0,5)-\mu}{\sigma}=-1,827094\quad;\quad z_o=\frac{(220+0,5)-\mu}{\sigma}=2,529822$$Die Subtraktion von \(0,5\) bzw. Addition von \(0,5\) nennt man "Stetigkeitskorrektur", sie ist bei ganzen Zahlen für genaue Ergebnisse wichtig. Einer Tabelle zur Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) entnehmen wir nun die Werte:

$$p_2=\Phi(2,529822)-\Phi(-1,827094)=0,994294-0,033843=\underline{0,960451}$$

(3) Wie viele Personen \(k\) müssen mindestens bedient werden, damit die Wahrscheinlichkeit für min. 1 Kaffee-Trinker größer als 99% ist? Hier kannst du auch fragen, wie viele Personen \(k\) brauchst du, damit die Wahrscheinlichkeit, dass keiner einen Kaffee trinkt, kleiner als 1% ist.

$$(1-p)^k<0,01\;\;\Leftrightarrow\;\;\left(\frac{1}{4}\right)^k<\frac{1}{100}\;\;\Leftrightarrow\;\;4^k>100\;\;\Leftrightarrow\;\;k>\frac{\ln(100)}{\ln(4)}\approx3,3219$$Ab \(k=4\) Personen muss mit mindestens 99% Wahrscheinlichkeit wenigstens 1 Kaffee verteilt werden.

von 7,1 k
+2 Daumen

p ist weiterhin 75%.

a)

Sei X die Anzahl an Kaffeetrinkenden Passagieren:

\(P(190 \leq X \leq 220) = \displaystyle\sum\limits_{i=190}^{220}\displaystyle\binom{270}{i}\cdot 0.75^i\cdot 0.25^{270-i}\)

b)

Mit der GegenWSK:

\(1-P(X=0) > 0.99 \\
\Leftrightarrow P(X=0) < 0.01 \\
\Leftrightarrow 0.25^n < 0.01 \)

Das nach n auflösen.


Lösung:

[spoiler]

\(\Leftrightarrow n > \dfrac{\ln 0.01}{\ln 0.25} = \log_{0.25}(0.01)\\
\Longrightarrow n \geq 4\)

[/spoiler]

von 10 k
+2 Daumen

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 Passagieren der ersten Klasse mindestens 28 Passagiere Kaffee trinken.

P(X ≥ 28) = ∑ (x = 28 bis 30) ((30 über x)·0.75^x·0.25^(30 - x)) = 0.01060

Hier hattest du nur verkehrt gerundet.


b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 270 Passagieren zwischen 190 und 220 Passagiere Kaffee trinken?

Mit Binomialverteilung
P(190 < X < 220) = ∑ (x = 191 bis 219) ((270 über x)·0.75^x·0.25^(270 - x)) = 0.9452

Mit Normalverteilung
μ = n·p = 270·0.75 = 202.5
σ = √(n·p·q) = √(270·0.75·0.25) = 7.115
P(190 < X < 220) = NORMAL((219.5 - 202.5)/7.115) - NORMAL((190.5 - 202.5)/7.115) = 0.9457


c) Wie viele Passagiere müssen mindestens bedient werden, damit die Wahrscheinlichkeit, zumindest einen Kaffeetrinker darunter zu finden, 99% übersteigt?

1 - (1 - 0.75)^n > 0.99 → n > 3.321928094 → n ≥ 4

von 299 k
+1 Daumen

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass von den 270 Passagieren zwischen 190 und 220 Passagiere Kaffee trinken?

Was ist p hier? Wie sieht diese Gleichung als Binomialverteilungsformel aus?

p=0,75

\( \sum\limits_{n=190}^{220}{\begin{pmatrix} 270\\k \end{pmatrix}} \)· 0,75k·0,25270-k .

von 62 k

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