0 Daumen
422 Aufrufe

Über zwei Mengen S (Strecken) und P (Punkten) ist Folgendes bekannt:

- Jede Strecke aus S enthält genau zwei Punkte aus P

- Jeder Schnittpunkt von Strecken aus S liegt in P

- In jedem Punkt aus P schneiden sich genau 3 Strecken aus S.

- |S| = |P|+10

Wie groß sind |S| und |P| ?

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Antwort mit KI erzeugt

Um die Größe der Mengen SS (Strecken) und PP (Punkte) zu bestimmen, nutzen wir die gegebenen Informationen in der Aufgabenstellung.

Herleitung:

1. Jede Strecke enthält genau zwei Punkte. Dies bedeutet jedoch nicht, dass alle Kombinationen von zwei Punkten eine Strecke bilden, da die Anzahl der Strecken größer als die Anzahl der Punkte (um 10) ist.

2. Jeder Schnittpunkt von Strecken liegt in PP, und in jedem Punkt schneiden sich genau 3 Strecken. Dies bedeutet, dass jeder Punkt aus PP der Schnittpunkt von 3 Strecken ist.

3. Da jede Strecke zwei Endpunkte hat und jede Strecke genau in zwei Punkten endet, kann man daraus die Gesamtzahl der "Streckenenden" berechnen, was das Doppelte der Anzahl der Strecken ist. Jedes "Streckenende" entspricht einem Punkt aus PP, in dem sich Strecken treffen. Da sich in jedem Punkt 3 Strecken treffen, teilen sich diese "Streckenenden" auf die Punkte auf.

4. Die Beziehung S=P+10|S| = |P| + 10 gibt bereits einen direkten Zusammenhang zwischen der Anzahl der Strecken und der Anzahl der Punkte.

Um die Anzahlen zu berechnen, formulieren wir die Beziehungen mathematisch:

Da in jedem Punkt aus PP genau 3 Strecken aufeinandertreffen, und jede Strecke 2 Endpunkte hat, kann man sagen, dass 2S=3P2|S| = 3|P|. Das bedeutet, jede Strecke trägt mit ihren zwei Enden zu den Enden der 3 Strecken in jedem Punkt bei.

Gegeben ist S=P+10|S| = |P| + 10.

Nun setzen wir diese zwei Beziehungen zueinander in Beziehung:

2S=3P 2|S| = 3|P|

Ersetze S|S| durch P+10|P| + 10:

2(P+10)=3P 2(|P| + 10) = 3|P|

Lösen dieser Gleichung:

2P+20=3P 2|P| + 20 = 3|P|

20=P 20 = |P|

Durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung finden wir S|S|:

S=P+10=20+10=30 |S| = |P| + 10 = 20 + 10 = 30

Ergebnis:

- Die Anzahl der Punkte P|P| ist 20.
- Die Anzahl der Strecken S|S| ist 30.
Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage