Question

Beweise: Die Funktion f mit f(x)=x⁴ hat an einer Stelle x₀≠0 die Ableitung f ' (x₀)=4x³₀

Answer 1

Ich betrachte das Ganze mal für lim h→0. Ich will es nur nicht immer wieder dazu schreiben.

f'(x) = (f(x + h) - f(x)) / h

f'(x) = ((x + h)⁴ - (x)⁴) / h

f'(x) = ((x⁴ + 4·h·x³ + 6·h²·x² + 4·h³·x + h⁴) - x⁴) / h

f'(x) = (4·h·x³ + 6·h²·x² + 4·h³·x + h⁴) / h

f'(x) = 4·x³ + 6·h·x² + 4·h²·x + h³

f'(x) = 4·x³

Comments

Und wie kommt man jetzt von dem vorletzten Ergebnis zum endgültigen?

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Statt x brauchst du nur noch x0 einsetzen. Ich denke aber das muss man nicht machen, denn das sollte offensichtlich sein.