Question

Beweise: Die Funktion f mit f(x)=x^4 hat an einer Stelle x₀≠0 die Ableitung f ' (x₀)=4x³₀

Answer 1

Ich betrachte das Ganze mal für lim h→0. Ich will es nur nicht immer wieder dazu schreiben.

f'(x) = (f(x + h) - f(x)) / h

f'(x) = ((x + h)^4 - (x)^4) / h

f'(x) = ((x^4 + 4·h·x^3 + 6·h^2·x^2 + 4·h^3·x + h^4) - x^4) / h

f'(x) = (4·h·x^3 + 6·h^2·x^2 + 4·h^3·x + h^4) / h

f'(x) = 4·x^3 + 6·h·x^2 + 4·h^2·x + h^3

f'(x) = 4·x^3

Comments

Und wie kommt man jetzt von dem vorletzten Ergebnis zum endgültigen?

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Statt x brauchst du nur noch x0 einsetzen. Ich denke aber das muss man nicht machen, denn das sollte offensichtlich sein.