Umwandlung von Scheitelpunktform in Polynomdarstellung und Linearfaktordarstellung

Question

Bitte die vorliegende Scheitelpunktform in eine Polynomdarstellung und Lineardarstellung umwandeln; dabei mir zum Verständnis die einzelne Rechenschritte aufzeigen. 

Bitte auch meine beiden vorherigen fragen, die die  gleiche Thematik umfasst, berechnen.

 

f(x)= 1/4(x+2)²  f(x) = a(x−u)²+ v    ====> Scheitelpunktform

f(x)= ax² + bx+c   ====> Polynomdarstellung 

f (x)= a(x-x₁)(x-x_{2)  =====> Linearfaktordarstellung}

Comments

Bisher hat sich niemand mir befasst und ich wäre dankbar, wenn sich das ändern würde.

Answer 1

Ich mache das hier mal ganz ganz allgemein. Du bräuchtest dann nur noch deine Werte einsetzen und eventuell etwas zu vereinfachen.

f(x) = a·(x + u)^2 + v

Polynomdarstellung über ausmultiplizieren

f(x) = a·(x^2 + 2·u·x + u^2) + v

f(x) = a·x^2 + 2·a·u·x + a·u^2 + v

Linearfaktordarstellung über die Nullstellen

f(x) = a·(x + u)^2 + v = 0

x = -u ± √(- v/a)

f(x) = a·(x - (-u + √(- v/a)))·(x - (-u - √(- v/a)))

f(x) = a·(x + u - √(- v/a))·(x + u + √(- v/a))

Comments

Kontrolllösungen:

f(x) = 1/4·(x + 2)^2

f(x) = 1/4·x^2 + x + 1

f(x) = 1/4·(x + 2)·(x + 2)

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Ich habe wenig bis gar nichts verstanden. Tut mir leid.

Ich wollte gerne dies nah an dem Beispiel erklärt bekommen und es nicht allgemein  beantwortet haben.

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Also :D

Als erstes musst du erkennen in welcher Form die Funktion eigentlich ist.               f(x)= 0.25(x+2)^2 = Linearfaktordarstellung (in diesem Fall auch Scheitelpunktform, was vl auch für Verwirrung gesorgt hat)

Also weißt du zu diesem Zeitpunkt, dass du die Polynomdarstellung(Normalform) und die Scheitelpunktform berechnen musst (und dass die Funktion eine sog. doppelte nullstelle bei (-2|0) hat.

1. Polynomdarstellung                                       Um diese herauszufinden musst du einfach nur die Linearfaktordarstellung(LFD) ausklammern                                                      f(x)= 0.25 (x+2) (x+2)                                 f(x)= (0.25x + 0.5) (x+2)                                 f(x)= 0.25x^2    +0.5x + 0.5x        +1                f(x)= 0.25x^2 + x + 1

2. Scheitelpunktform                                         Um den Scheitelpunkt, also den Hoch- oder Tiefpunkt einer Funktion zu berechnen ist die notwendige Bedingung f'(x) = 0       (Es ist sehr wahrscheinlich, dass Schüler die noch mit solchen Aufgaben zu tun haben noch nie etwas von f'(x) bzw. einer Ableitung gehört haben).                                                           Gebt bei YouTube also einfach mal "ableiten" ein, sucht nach Thesimplemaths und freut euch mathe zu verstehen :)

0= 0.5x +1 (das ist die ableitung)                      -2=x

Jetzt nur noch x in f(x) einsetzten und man hat den Hoch-/Tief-/Scheitelpunkt

f(-2)= 0.25 × (-2)^2  -2 +1                               f(-2)= 0     --> SP (-2|0)                                     SP.form= 0.25 (x+2)^2 +0

Und damit ist die Aufgabe (auch schon) gelöst :)

Ich hoffe man kann alles nachvollziehen und dass dieser Post vl. noch für andere Schüler hilfreich ist. Ich gehe jz einfach mal davon aus dass du das mittlerweile ausrechnen kannst da die frage ja doch schon ein zwei Jährchen älter ist :D

Lg