PQ Formel Gleichung : Komplexe Zahlen

Question

Aufgabe:

iz²+(2-3i)z-5(1-i)=0

Problem/Ansatz:

wie rechnet man das so, dass die antwort ist

z1=2-i

z2=1+3i

Ich habe schon mit Pq Formel probiert

Bitte um Hilfe !

Comments

Der Leitkoeffizient besitzt nicht den Wert 1.

Answer 1

Man muss beachten das gilt $\frac{1}{i} = -i$, dann ergibt die pq-Formel die Lösung

$$z_{1,2} = \frac{ 2i + 3 \pm \sqrt{ -8i -15 } } { 2 }$$

Jetzt ist aber $-8i -15 = (1 - 4i)^2$ und damit folgt die Lösung.

Comments

Auf die Lösung kommt man, wenn man den Ansatz $$-8i -15 = (a+ib)^2$$ macht. Anschließend das Quadrat ausrechnen und reelle und komplexe Koeffizienten vergleichen, unter der Annahme das $a,b \in \mathbb{R}$ gilt.

Answer 2

iz² + (2-3i)z - 5(1-i) = 0  || * i
-z² + (2i+3)z - 5(i+1) = 0 || * -1
z² - (2i+3)z + 5(i+1) = 0

p = -(2i+3)
q = 5(i+1)

Wegen sqrt(-x) = i * sqrt(x)
$$x1 = \frac{-p}{2} + i * sqrt ( q - p^2/4)$$
$$x2 = \frac{-p}{2} - i * sqrt ( q - p^2/4)$$