Funktionsscharen , Hochpunkt

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktionenschar fa(x) = 2ax³ + (2-4a)x

aER

a ungleich 0

Problem/Ansatz:

a) Berechnen Sie den Hochpunkt für f-0,25(x)

b) Zeigen Sie, dass alle Graphen zu fa durch den Hochpunkt H der Kurve f-0,25(x) gehen

Answer 1

Wo ist das Problem?

a) f_-0.25(x) = 3x - 0.5x³ ⇒ lok. Maximum bei (√2 | 2√2).

b) z.z.: 2√2 = 2a*(√2)³ + (2-4a)*√2 ⇔ 2√2 = 4 √2 a + 2√2 - 4 √2 a ⇔ 2√2 = 2√2 ⇒ wahr

Answer 2

Aloha :)

Zuerst setzen wir $a=-0,25$ ein und berechnen die Funktion und ihre beiden ersten Ableitungen:

$$f_{-0,25}(x)=2\cdot(-0,25)x^3+(2-4\cdot(-0,25))x=-0,5x^3+3x$$$$f'_{-0,25}(x)=-1,5x^2+3$$$$f''_{-0,25}(x)=-3x$$Notwendige Bedingung für ein Extremum ist, dass die erste Ableitung gleich Null wird:$$-1,5x^2+3=0\;\;\Leftrightarrow\;\;-1,5x^2=-3\;\;\Leftrightarrow\;\;x^2=2\;\;\Leftrightarrow\;\;x=\pm\sqrt2$$Wir haben also 2 mögliche Kandidaten für ein Extremum. Anhand der zweiten Ableitung können wir prüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt:$$f''_{-0,25}(+\sqrt2)=-3\sqrt2<0\quad\Rightarrow\quad\text{Hochpunkt}$$$$f''_{-0,25}(-\sqrt2)=+3\sqrt2>0\quad\Rightarrow\quad\text{Tiefpunkt}$$Der Hochpunkt für $a=-0,25$ befindet sich also bei $H(\sqrt2\,;\,2\sqrt2)$.

Jetzt musst du noch zeigen, dass alle Graphen, unabhängig vom Wert für $a$ durch den Hochpunkt gehen:

$$f_a(\sqrt2)=2a(\sqrt2)^3+(2-4a)\sqrt2=2a\cdot(\sqrt2)^2\sqrt2+(2-4a)\sqrt2=2a\cdot2\sqrt2+(2-4a)\sqrt2$$$$=4a\sqrt2+2\sqrt2-4a\sqrt2=2\sqrt2$$Also gilt stets: $f_a(\sqrt2)=2\sqrt2$.