Hochpunkt berechnen, Funktionenschar

Question

Hochpunkt berechnen:

f_a(t) = 20a • t • e^-0,5t   t∈[0;12], a > 0

Answer 1

Hallo,

bilde die 1. Ableitung der Funktion, setze sie = 0 und löse nach t auf.

Gruß, Silvia

Bildung der Ableitung:

\(f_a(t)=20\cdot a\cdot t\cdot e^{-0,5t}\)

\( \begin{array}{ll}u=20 a t & v=e^{-0,5 t} \\ u^{\prime}=20 a & v^{\prime}=-0,5 e^{-0,5 t}\end{array} \)

\( \begin{aligned} f'(x) &=20 a \cdot e^{-0,5 t}+20 a t \cdot(-0,5) e^{-0,5 t} \\ &=e^{-0,5 t} \cdot(20 a-10 a t) \end{aligned} \)

Berechnung des Hochpunktes:

\( \begin{aligned} e^{-0,5 t} \cdot(20 a-10 a t) &=0 \\ 20 a-10 a t &=0 \\-10 a t &=-20 a \\ t &=2 \end{aligned} \)

Da nach dem Hochpunkt gefragt ist, erspare ich mir die Berechnung von f''(2) <0

Zu dem Punkt gehört noch die y-Koordinate:

\(f_a(t)=20\cdot a\cdot 2\cdot e^{-0,5\cdot 2}=\frac{40a}{e}\)

Answer 2

f(t) = 20·a·t·e^(- 0.5·t)

f'(t) = a·e^(- 0.5·t)·(20 - 10·t) = 0 → t = 2

f''(2) = - 10/e·a → HP

f(2) = 40·a/e → HP(2 | 40/e·a)