Satz zum Grenzwert von Teilfolgen

Question

Aufgabe:

Ich möchte folgenden Satz durch Widerspruch zeigen.

$$ \text{Ist } \lim_{n \to \infty} x_n=a, \text{ dann folgt } \lim_{k\to \infty} x_{n_k}=a \text{ für alle Teilfolgen } (x_{n_k}) \text{ von } (x_n).$$

Problem/Ansatz:

Allerdings bin ich mir jetzt nicht sicher, ob es hier reicht, den Fall für ε:=ε_1, n:=n_k und N_1:=N zu betrachten.

Answer 1

ob es hier reicht, den Fall für ε:=ε_1, n:=n_k und N_1:=N zu betrachten.

Es reicht nicht, den Fall N₁ := N zu betrachten, weil das N₁ allquantifiziert ist. Die Aussage

        ∃n_k > N₁: |x_nk - a| ≥ ε₁

muss also für jedes N₁ ∈ ℕ gelten.

Comments

Soll ich also dann für alle N_1 zeigen, dass ein Widerspruch (wie auch immer) zu Stande kommt? Mich verunsichert hier, wie ich mit den Quantoren arbeiten soll, da ich hier zwei Aussagen aus drei Quantoren habe, die aber jeweils bei der anderen Aussage negiert sind.

---

Mir ist noch ein zweites Problem aufgefallen: man kann nicht über n_k quantifizieren.

Damit (x_nk) eine Teilfolge von (x_n) ist, muss (n_k) eine streng monotone Folge mit Werten aus ℕ sein. Der Index, über den die Folge (x_nk) quantifiziert werden kann, ist also nicht n_k, sondern k. Somit kommt man zu:

Sei (n_k) eine streng monotone Folge mit Werten aus ℕ.

Dann gilt laut Voraussetzung:

(1)        ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ ∀ n ≥ N : |x_n - a| < ε.

Außerdem gilt laut Annahme:

(2)        ∃ ε₁ > 0 ∀ N₁ ∈ ℕ ∃ k ≥ N : |x_nk - a| ≥ ε₁.

Es genügt, aus (1) und (2) einen Widerspruch herzuleiten.

Sei dazu ε₁ > 0, so dass

(3)        ∀ N₁ ∈ ℕ ∃ k ≥ N₁ : |x_nk - a| ≥ ε₁.

Ein solches ε₁ existiert wegen (2).

Laut (1) gilt dann

(4)       ∃ N ∈ ℕ ∀ n ≥ N : |x_n - a| < ε₁.

Sei N ∈ ℕ, so dass

(5)        ∀ n ≥ N : |x_n - a| < ε₁.

Ein solches N existiert wegen (4).

Sei k ≥ N, so dass

(6)        |x_nk - a| ≥ ε₁.

Ein solches k existiert wegen (3).

(5) und (6) widersprechen sich.

---

man kann nicht über nk quantifizieren.

Ach Mist, da hatte ich nicht ganz auf die Definition von Teilfolgen geachtet, dass man über k indiziert.

Aber dein Beweis ist auf jeden Fall für mich sehr sehr gut nachvollziehbar, und macht auch deutlich, wie du mit den Quantoren arbeitest. So genau hatte ich das bisher noch nicht gesehen. Man schaut sich also immer den fordersten an und reduziert nach und nach die Aussage; und gelangt hier so zu einer widersprüchlichen Aussage.

Die Aneinanderreihung von Quantoren kann man sich doch wie eine Baumstruktur vorstellen? Also in diesem Schema (mit (1) als Beispiel):

Jeder Ast würde dann das jeweils angegebene Objekt in der Eigenschaft symbolisieren.

Answer 2

Mal grob, ohne einen Anspruch auf einen formalen Beweis:

Sei \(a\) der Grenzwert der Ausgangsfolge. Dann liegen für jedes \(\varepsilon >0\) höchstens endlich viele ihrer Glieder außerhalb von \(U_\varepsilon(a)\). Wenn \(x_{n_k} \not \to a\) stellt das ein Widerspruch zur Annahme dar, es gäbe außerhalb von \(U_\varepsilon (a)\) höchstens endlich viele Glieder. Der Beweis folgt schon fast aus der Definition.

Comments

Im Prinzip folgt es tatsächlich schon aus der Definition von Teilfolgen, aber ich wollte es halt formal begründen. Meine Analysis wollte ich wieder auffrischen.