Teilfolgen konvergenz zeigen

Question

Aufgabe:

Eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) reeller Zahlen konvergiert gegen \( a \in \mathbb{R} \) genau dann, wenn für jede Teilfolge \( \left(a_{n_{k}}\right)_{k} \) gilt: \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=a \).

Wahr oder falsch?

Problem/Ansatz:

Würde da stehen dass die teilfolge konvergent ist, wäre die aussage wahr, also denke ich sie ist falsch? Wenn ja muss ich das noch irgendwie begründen

Answer 1

Die Aussage ist wahr.

dass die teilfolge konvergent ist

Welche Teilfolge meinst du?

In der Aussage wird gefordert, dass jede Teilfolge gegen a konvergiert. Es gibt normalerweise mehr als eine Teilfolge. Wenn du von der Teilfolge sprichst, solltest du deshalb angeben, welche du meinst.

Comments

Warum aber? Habe ich es richtig verstanden das die gegebene teilfolge auch konvergent ist? Weil sie ja gegen a geht...

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Warum aber?

Warum was?

das die gegebene teilfolge auch konvergent ist?

Es ist keine Teilfolge gegeben.

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Ich meine jede teilfolge (ank) ob die jetzt konvergent sind oder nicht

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Du musst folgendes zeigen:

1. Wenn \(\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) gegen \(a\) konvergiert, dann konvergiert auch jede Teilfolge von \(\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) gegen \(a\).
2. Wenn jede Teilfolge von \(\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) gegen \(a\) konvergiert, dann konveriert auch \(\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) gegen \(a\).
   

Welcher der beiden Teile bereitet dir Schwierigkeiten?

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Mir bereitet schwierigkeitem, dass ich mal eine sehr ähnliche aussage bewiesen habe, mit dem unterschied das in der aufgabenstellung stand:

...für Jede konvergente Teilfolge \( \left(a_{n_{k}}\right)_{k} \) gilt: \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=a \)

Ich erkenne keinen unterschied da doch alle teilfolgen gegen a konvergieren

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...für Jede konvergente Teilfolge \( \left(a_{n_{k}}\right)_{k} \) gilt: \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=a \)

Das ist für sich alleine genommen falsch. Wie lautet die vollständige Aussage, die du bewiesen hast?

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Eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) reeller Zahlen konvergiert gegen \( a \in \mathbb{R} \) genau dann, wenn für jede konvergente Teilfolge \( \left(a_{n_{k}}\right)_{k} \) gilt: \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=a \).

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Eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) reeller Zahlen konvergiert gegen \( a \in \mathbb{R} \) genau dann, wenn für jede konvergente Teilfolge \( \left(a_{n_{k}}\right)_{k} \) gilt: \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=a \).

Die Aussage stimmt nicht.

Beispiel. \(((-1)^n\cdot n - n)_{n\in\mathbb{N}}\)

Alle konvergenten Teilfolgen konvergieren gegen 0, aber die Folge ist divergent.

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Dann habe ich glaube ich den beweis sozusagen vertauscht, lol. Habe aber jetzt verstanden was falsch war, danke.

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Welche teilfolgen wäre das denn? n gerade oder? Ich meine dein beispiel

Wenn ich gerade zahlen für n einsetze, erhält man null, bei ungeraden aber doch nicht?

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Welche teilfolgen wäre das denn? n gerade und ungerade oder?

Im Wesentlichen ist das so. Genauer gesagt

1. Wenn es nur endlich viele ungerade Indizes in der Teilfolge gibt, dann ist die Teilfolge konvergent mit Grenzwert 0.
2. Wenn es unendlich viele ungerade Indizes in der Teilfolge gibt, dann ist die Teilfolge divergent.

Es ist wichtig, auf den Unterschied zwischen

• A gilt wenn B gilt
• A gilt genau dann wenn B gilt.

zu achten. Letzteres besteht aus den zwei Aussagen

1. A gilt wenn B gilt
2. B gilt wenn A gilt

Von der von dir bewiesenen Aussage gilt nur eine dieser zwei Hälften, nämlich "Wenn eine Folge gegen \(a\) konvergiert, dann konvergiert auch jede konvergente Teilfolge gegen \(a\)". Die zweite Hälfte gilt nicht (wegen Beispiel).

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Wenn die zweite hälfte nicht gilt, dann gilt doch auch das das äquivalenzzeichen nicht, da ja alle konvergenten teilfolgen gegen 0 konvergieren aber die folge selbst divigiert. Ein gegenbeispiel müsste doch reichen oder?

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Der Unterschied zwischen meinem Beispiel und deiner Aufgabe ist

        ... jede konvergente Teilfolge ...

im Gegensatz zu

        ... jede Teilfolge ...

In meinem Beispiel konvergiert jede konvergente Teilfolge gegen den selben Wert. Das lässt die Möglichkeit offen, dass die Folge auch divergente Teilfolgen hat.

In deiner Aufgabe ist aber danach gefragt, was man über die Konvergenz der Folge aussagen kann, wenn jede Teilfolge gegen den selben Wert konvergiert. Um Folgen, die divergente Teilfolgen haben, brauchst du dich also nicht zu kümmern. Und auch nicht um Folgen, die Teilfolgen mit verschiedenen Grenzwerten haben (z.B. \(\left((-1)^n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)).

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Das war bezogen auf die andere falsche aussgage, die ursprüngliche aufgabe habe ich bewiesen

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Ein gegenbeispiel müsste doch reichen oder?

Ja.