Zeigen Sie, dass w1 linear unabhängig ist.

Question

a) Seien $p_{0}, p_{1}, p_{2} \in \Pi_{2}(\mathbb{R})$ mit

$p_{0}(x)=1+x, \quad p_{1}(x)=1+3 x^{2}, \quad p_{2}(x)=1 .$
Zeigen Sie, dass $\left(p_{0}, p_{1}, p_{2}\right)$ eine Basis von $\Pi_{2}(\mathbb{R})$ bilden.

b) Seien $v_{1}, v_{2}, v_{3} \in \mathbb{R}^{3}$ linear unabhängig und
$w_{1}=v_{1}+v_{2}, \quad w_{2}=v_{2}+v_{3}, \quad w_{3}=v_{1}+v_{3} .$
Zeigen Sie, dass $\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right)$ linear unabhängig ist.

Answer 1

Hallo

a) einfach zeigen dass die Linearkombination ap1+bp2+cp3  für ALLE x nur für a=b=c=0 gilt,

b) aus av1+bv2+cv3=0 nur für a=b=c=0 schließen dass auch Aw1+Bw2+Cw3=0 nur für A=B=C= 0 gilt. einfach so umschreiben  dass wieder vi jeweils addiert werden.

Gruß lul

Answer 2

a) Es ist dim $\Pi_{2}(\mathbb{R})$ = 3. Also bilden je drei

linear unabhängige Elemente von $\Pi_{2}(\mathbb{R})$ eine Basis.

$p_{0}, p_{1}, p_{2}$ sind linear unabhängig, da aus

$ap_{0},+bp_{1}+ cp_{2}$ = 0-Polynom folgt

a *(1+x)  + b*(1+3 x²) + c*1  = 0   für alle x∈ℝ   folgt

(a+b+c) +  a*x +  3bx² = 0

b=0 und a=0  und a+b+c=0  also auch c=0.

b)  Ansatz: $x\cdot w_{1}+y\cdot w_{2}+z\cdot w_{3}=\vec{0}$  Einsetzen:

==>    $x\cdot (v_{1}+v_{2})+y\cdot (v_{2}+v_{3})+z\cdot(v_{1}+v_{3} )=\vec{0}$

==>    $(x+z) \cdot v_{1}+(x+y) \cdot v_{2}+(y+z) \cdot v_{3} =\vec{0}$

$v_{1}, v_{2}, v_{3}$ linear unabhängig

==>   x+z=0   ∧  x+y=0   ∧  y+z=0

==>    x=-z   ∧  y=-x ∧  y=-z

==>    x=-z   ∧  y=-x ∧  y=x

==>   -x=x  also x=0 und damit auch y=0 und z=0.

Also kann der 0-Vektor mittels $\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right)$

nur dargestellt werden, wenn alle Faktoren 0 sind.

==>  $\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right)$ lin. unabhängig.