Wie berechne ich eine 3x3 Matrix aus zwei 3x5 Matrizen?

Question

Aufgabe:

Ich soll aus einer Matrix A (3x5) eine Matrix B (3x3) berechnen, sodass deren Produkt BA (3x5) ergibt. Die Matrix BA ist angegeben.

Wie berechne ich das? Ich habe gar keinen Lösungsansatz und weiß gar nicht wo ich anfangen soll. Invertieren kann ich BA nicht, da diese nicht quadratisch ist.

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte nur ein einziges vorgerechnetes Beispiel, damit ich weiß was ich machen soll bzw. wo ich überhaupt anfangen soll.

Comments

Vielleicht von rechts mit A^T multiplizieren.

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Halte dich an diesen Tipp. Für bel. reelle Matrizen ist

$$A\cdot A^T$$

(Gramm-Matrix) symmetrisch positiv definit, insbesondere also invertierbar. Somit gilt:

$$B = (BA) \cdot A^T \cdot \left( A\cdot A^T\right)^{-1}$$

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Nur wenn A vollen Rang hat.

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Stimmt ;) Im Allgemeinen ist das Ding nur semidefinit...

Answer 1

Setze $B := \begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2}&b_{1,3}\\b_{2,1} & b_{2,2}&b_{2,3}\\b_{3,1} & b_{3,2}&b_{3,3} \end{pmatrix}$.

Stelle die Gleichung $B\cdot A = BA$ auf.

Wende auf der linken Seite die Matrixmultiplikation an.

Aus der resultierenden Gleichung kannst du 15 Gleichungen machen (eine für jede Komponente der Matrix).

Löse das Gleichungssystem.

Comments

Vielen Dank! Ich habe es endlich gelöst bekommen. Man muss wirklich nur die Gleichungen lösen und dann hat man die 3x3 Matrix. Kostet natürlich Zeit, aber am Ende passt alles. Herrlich :D

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Kostet natürlich Zeit

Die Alternative dazu ist, das Gleichungssystem von einem Computeralgebrasystem lösen zu lassen, zum Beispiel von Maxima.