Gruppenhomomorphismus oder nicht?

Question

Gegeben: $$f_{3}: \mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{R}^{*}, \\z \mapsto|z|$$

Die Verknüpfung sei die Multiplikation. 
Zur Erinnerung: \(\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R} \backslash\{0\}, \mathbb{C}^{*}=\mathbb{C} \backslash\{0\}\)

Was habe ich gemacht ? (Bild) 

Fragen/Problem/Ansatz:

(a) Da ich das länger nicht gemacht habe, bin ich mir unsicher ob ich richtig liege. 

(b) Vor allem weiss ich nicht ob die Annahme "Seien \(z1,z2\) aus den Komplexen Zahlen ohne Null" richtig ist. Denn erst wenn ich dann die Betragsfunktion anwende, also die Abbildung \(f_3\) auf  \(z1,z2\) anwende, wird abgebildet nach IR und somit wird \(|z|\) zu einem Element aus IR. Oder? 

Answer 1

Ja, deine Intuition ist richtig, und du hast formell alles richtig gemacht. Ich würde als Korrektor trotzdem nicht volle Punktzahl geben.

Der Knackpunkt der Aussage ist die Gleichung \( |z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot|z_2|\), die kannst du nicht einfach hinschreiben sondern sollst sie explizit nachrechnen (vorausgesetzt, dass ihr diese Gleichung nicht als bekannt voraussetzt). Also \(z_1 = a_1 + i\cdot b_1\) setzen, das selbe für \(z_2\) und dann schön explizit nachrechnen, dass die Gleichung gilt.

Comments

Habe es nachgerechnet, und kam nach etwa 12 Umformungen auf das richtige Resultat. 

Vielen Dank ? :)