Aufgabe:
Es sei \(a\in \mathbb{R}\cup \{-\infty\}\) und \(h:(a,\infty) \to \mathbb{R}\) stetig und differenzierbar. Fener exisitiere \(\lim\limits_{x\to\infty}h'(x)=:c\in [-\infty, \infty]\) . Zeigen Sie \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{h(x)}{x}=c\).
Tipp: Betrachten Sie \(x_n:=a+n\) für \(n\in \mathbb{N}\) sowie \(x>x_n\). Verwenden Sie dann den Mittelwertsatz, um einen Bezug zwischen \(h\) und \(h'\) herzustellen. Bilden Sie anschließend den Grenzwert für \(n\to \infty\) und untersuchen Sie die Fälle \(c=\infty\), \(c=-\infty\) und \(-\infty <c < \infty\)
Ich verstehe denn Tipp leider gar nicht. Die erste Frage, die sich mir stellt ist, ist \(x_n\) wohldefiniert, wenn \(a\in \mathbb{R}\cup \{-\infty\}\), könnte mann dann nicht \(a=-\infty\) setzen?
Weiterhin verstehe ich nicht, was der Grenzübergang bringen soll, wenn \(x_n\) für \(n\to \infty\) gegen unendlich divergiert?
Meine Try'n'Error-Idee sieht bisher so aus:
Für jedes \(x_n\) gibt es nach Eudoxos ein \(x>x_n\). Da \(h\) stetig differenzierbar ist, ist \((x_m,x)\) differenzierbar und auf \([x,x_n]\) stetig, daher exisitiert \(\xi _n\in (x,x_n)\), so dass \(h'(\xi_n)=\frac{h(x_n)-h(x)}{x_n-x}\)
....
aber ich weiß gar nicht was ich mache und ob das überhaupt Sinn ergibt, da ich den Tipp nicht verstehe. Kann das vielleicht jemand weiter ausführen?
Bemerkung:
In der Vorlesung wurden die Regeln von l’Hospital für den Fall gezeigt, dass Zähler und Nenner gegen Null konvergieren. Diese und eine Folgeaufgabe, soll die Regel von L'Hospital erweitern für den Fall:
Nenner betragsmäßig gegen unendlich divergiert
