(1+2+...+n)²=1^3+2^3+...+n³

Question

Aufgabe:

(1+2+...+n)²=1^3+2^3+...+n³
Problem/Ansatz:

… was ist die Lösung bitte

Answer 1

Induktionsanfang sollte klar sein.

Induktionsvoraussetzung: Angenommen, die Aussage sei für ein beliebiges, aber festes, \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\) wahr. Dann gilt auch nach der Distributivität:

$$ \sum_{k=1}^n k^3=\Bigg(\sum_{k=1}^n k\Bigg)^2=\Bigg(\sum_{k=1}^n k\Bigg)\cdot \Bigg(\sum_{j=1}^n j\Bigg)=\sum_{k=1}^n \Bigg(\sum_{j=1}^n k\cdot j\Bigg)\quad (IV).$$

Induktionsschritt: Dann gilt diese Aussage auch für n+1, also:

$$ \Bigg(\sum_{k=1}^{n+1} k\Bigg)^2=\sum_{k=1}^{n+1} k^3 .$$

Es gilt nun:

$$ \Bigg(\sum_{k=1}^{n+1} k\Bigg)^2=\Bigg(\sum_{k=1}^{n+1} k\Bigg)\cdot \Bigg(\sum_{j=1}^{n+1} j\Bigg)=\sum_{k=1}^{n+1} \Bigg(\sum_{j=1}^{n+1} k\cdot j\Bigg)\\[30pt]= \sum_{k=1}^{n} \Bigg(\sum_{j=1}^{n+1} k\cdot j\Bigg)+\underbrace{\Bigg(\sum_{j=1}^{n+1} (n+1)\cdot j\Bigg)}_{(n+1)-\text{tes Summenpaar}}\\[30pt]= \sum_{k=1}^{n} \Bigg(\Bigg(\sum_{j=1}^{n} k\cdot j\Bigg)+k\cdot (n+1)\Bigg)+\underbrace{\Bigg(\sum_{j=1}^{n+1} (n+1)\cdot j\Bigg)}_{(n+1)-\text{tes Summenpaar}}\\[30pt]=\Bigg(\sum_{k=1}^{n} \Bigg(\sum_{j=1}^{n} k\cdot j\Bigg)\Bigg)+\Bigg(\sum_{k=1}^n k\cdot (n+1)\Bigg)+\underbrace{\Bigg(\sum_{j=1}^{n+1} (n+1)\cdot j\Bigg)}_{(n+1)-\text{tes Summenpaar}}\\[30pt]\stackrel{(IV)}{=}\Bigg(\sum_{k=1}^n k^3\Bigg)+(n+1)\cdot\Bigg(\sum_{k=1}^n k\Bigg)+\underbrace{(n+1)\cdot\Bigg(\sum_{j=1}^{n+1}  j\Bigg)}_{(n+1)-\text{tes Summenpaar}}\\[30pt]=\Bigg(\sum_{k=1}^n k^3\Bigg)+(n+1)\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2}+(n+1)\cdot \frac{(n+1)\cdot (n+2)}{2}\\[30pt]=\Bigg(\sum_{k=1}^n k^3\Bigg)+\frac{n\cdot (n+1)^2}{2}+\frac{(n+2)\cdot (n+1)^2}{2}\\[30pt]=\Bigg(\sum_{k=1}^n k^3\Bigg)+\frac{(n+n+2)\cdot (n+1)^2}{2}\\[30pt]=\Bigg(\sum_{k=1}^n k^3\Bigg)+(n+1)^3\\[30pt]=\sum_{k=1}^{n+1} k^3$$

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Super gemacht. Vielen Dank

Answer 2

Hallo Jax,

… was ist die Lösung bitte

für welches Problem? ;-) oben steht eine Gleichung, ich nehme mal an, Du sollst zeigen, dass diese Gleichung für jedes \(n \in \mathbb{N}\) korrekt ist. Da bietet sich ein induktiver Beweis an.  Für \(n=1\) gilt $$1^2 = 1^3$$das stimmt schon mal. Der Übergang von \(n\) nach \(n+1\) (Bem.: \(1+2+\dots + n = \frac 12 n(n+1)\).):$$(1+2+ \dots + n + (n+1))^2  \\ \quad = (1+2+ \dots +n)^2 + 2(1+2+\dots + n)(n+1) + (n+1)^2 \\ \quad = 1^3+2^3+\dots +n^3 +(n+1)\left( 2\cdot \frac 12n(n+1) + (n+1) \right) \\ \quad = 1^3+2^3+\dots +n^3 +(n+1)^2\left( n + 1 \right) \\ \quad = 1^3+2^3 + \dots + n^3 + (n+1)^3$$

womit obige Gleichung für alle \(n\) gilt.

Gruß Werner

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Vielen Dank für Antwort

Answer 3

Die Lösung ist: "Die Gleichung stimmt."

Oder wolltest du was anderes?

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Bewiesen Sie bitte zunächst mittels vollständiger induktion