Vollständige Induktion bei der Ungleichung 2^n > n³

Question

Die folgende Ungleichung ist zu beweisen:

$${ 2 }^{ n }>{ n }^{ 3 }$$ für n>=10

Mein Ansatz für den Induktionsschluss lautet:

$${ 2 }^{ n+1 }>{ (n+1) }^{ 3 }$$

$$2\cdot { 2 }^{ n }>2\cdot { n }^{ 3 }={ n }^{ 3 }+{ n }^{ 3 }$$

Auf der rechten Seite steht:

$${ n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+3n+1=({ n+1 })^{ 3 }$$

Wie führe ich den Beweis zu Ende?

Comments

Du kannst z.B. folgendermaßen argumentieren: Für \(n>4\) gilt
\(2n^3>2n^3-(n-4)\cdot(n^2+n+1)=n^3+3n^2+3n+4=(n+1)^3+3>(n+1)^3\).

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Alternativ und ohne besondere Idee: Die Wunschungleichung \(2n^3>(n+1)^3\), die gelten muss, damit der Induktionsschritt klappt, ist aequivalent zu \(2>(1+1/n)^3\). Das stimmt zum ersten Mal für \(n=4\), und da die rechte Seite monoton faellt, stimmt es auch für alle \(n\ge4\).

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Ich habe im Internet die folgende Fortführung der Ungleichung gefunden:

$${ n }^{ 3 }+{ n }^{ 3 }>{ n }^{ 3 }+7{ n }^{ 2 }={ n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+4{ n }^{ 2 }={ n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+3{ n }^{ 2 }+{ n }^{ 2 }>(n+1)^{2}$$

Diese Lösung finde ich ganz elegant.