Beweisen Sie mit Hilfe der Körperaxiome der reellen Zahlen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit Hilfe der Körperaxiome der reellen Zahlen:
(i) Es gibt nur eine 0, d.h. das Nullelement in einem Köorper ist eindeutig bestimmt;
(ii) Es gilt 0 a = 0 für alle a ∈ R;
(iii) ∀a ∈ R : -a = (-1)a;

Problem/Ansatz:

ich komme damit nicht klar. Kann jemand bitte mir helfen. Ich bin in Mathe sehr schlecht

Answer 1

(i) Angenommen 0' ist ebenfalls neutral bezüglich Addition

Dann ist

(1)        0' + 0 = 0

weil 0' neutral ist. Außerdem ist

(2)        0' + 0 = 0'

weil 0 neutral ist.

In beiden Gleichungen steht auf der linken Seite das gleiche. Dann muss auch auf der rechten Seite in beiden Gleichungen das gleiche stehen. Also ist

        0 = 0'.

(ii) 0 · a = 0 · a

⇒ 0 · a  = (0 + 0) · a

⇒ 0 · a  = 0 · a + 0 · a

⇒ 0 · a + (-(0 · a)) = (0 · a + 0 · a) + (-(0 · a))

⇒ 0 · a + (-(0 · a)) = 0 · a + (0 · a + (-(0 · a)))

⇒ 0  = 0 · a + 0

⇒ 0  = 0 · a

(iii) 0  = 0 · a

⇒ 0  = (1 + (-1)) · a

⇒ 0  = 1 · a + (-1)· a

⇒ 0  = a + (-1)· a)

⇒ -a + 0  = -a + (a + (-1)· a))

⇒ -a + 0  = (-a + a) + (-1)· a

⇒ -a + 0  = 0 + (-1)· a

⇒ -a = (-1)· a

Comments

herzlichen Dank

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Ich habe bei jeder Umformung genau ein Körperaxiom verwendet. Finde für jede Umformung heraus, welches Körperaxiom ich verwendet habe.