0 Daumen
695 Aufrufe

Aufgabe:

Es sei Ω eine Ergebnismenge, P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω und A,B,C Ereignisse mit P(Ac) = 0.75, P(Bc) = 0.65, P(C) = 0.5, P(Ac ∩ B) = 0.25, P(Bc ∪ Cc) = 0.8 und P(A∩C) = 0. Berechnen Sie P(A\B), P(Ac ∩ B ∩ Cc) sowie P(A ∪ B ∪ C).

Problem:

Muss ich die Wahrscheinlichkeiten mithilfe von bedingten Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, da beispielsweise bei P(A∩C) = 0 und 0,25 * 0,5 nicht gleich 0 ergibt?


Mit freundlichen Grüßen

Marie

Avatar von

P(A ∩ B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ A ∩ C

P(Ac ∩ B ∩ Cc)
= (Ac ∩ B) ∩ (Ac ∩ Cc)
= 0,25 ∩ 1 ?

Ich komm einfach nicht drauf, wie ich es lösen könnte

1 Antwort

+2 Daumen
Muss ich die Wahrscheinlichkeiten mithilfe von bedingten Wahrscheinlichkeiten ausrechnen,

Nein. Du musst dich an die Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung halten. Die Aufgabe kann man lösen ohne das Konzept von bedingter Wahrscheinlichkeit jemals angetroffen zu haben.

da beispielsweise bei P(A∩C) = 0 und 0,25 * 0,5 nicht gleich 0 ergibt?

Das heißt A und C sind nicht stochastisch unabhängig. Das ist eine nette Erkenntniss, hilft bei der Lösung der Aufgabenstellung aber nicht.

Avatar von 105 k 🚀

Ich weiß, dass P(A\B) =  P(A) – P(A ∩ B). Aber wie komme ich von (Ac ∩ B) = 0.25 auf P(A ∩ B)?


Marie

wie komme ich von (Ac ∩ B) = 0.25 auf P(A ∩ B)

Es gilt

        P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B) = P(B),

weil A ∩ B und Ac ∩ B disjunkt sind und

        (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B) = B

ist.

!


Eine Frage hätte ich noch: Wenn P(A∩C) = 0, ist dann P(A ∩ B ∩ C) auch 0?

Wenn A und C keine gemeinsamen Elemente haben, ist es ja ausgeschlossen, dass alle 3 gemeinsame Elemente haben, oder?


Marie

Wenn P(A∩C) = 0, ist dann P(A ∩ B ∩ C) auch 0?

Ja. Die Menge der Ergebnisse kann ja nicht größer werden, wenn ich noch zusätzlich alle Elemente rauswerfe, die nicht in B sind. Also kann auch durch den zusätzlichen Schnitt die Wahrscheinlichkeit nicht größer werden.

P(A ∩ B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ A ∩ C

P(Ac ∩ B ∩ Cc)
= (Ac ∩ B) ∩ (Ac ∩ Cc)
= 0,25 ∩ 1 ?


Ich komm einfach nicht drauf, wie ich es lösen könnte!

Schreib doch mal auf, welche Wahrscheinlichkeiten du schon berechnet hast.

• P(Ac) = 0.75, P(A) = 0.25
• P(Bc) = 0.65, P(B) = 0.35
• P(C) = 0.5, P(Cc) = 0.5
• P(Ac ∩ B) = 0.25
• P(Bc ∪ Cc) = 0.8
• P(A∩C) = 0


+

P(A ∪ B ∪ C) = 0,8

B ∩ C = 0,2

P(A ∩ B) = 0,15

P(A ∩ B ∩ C) = 0 hattest du noch ausgerechnet.

P(A ∩ B) = P(B) - P(Ac ∩ B) = 0,35 - 0,25 = 0,1

P(A\B) = P(A) - P(B) + P(Ac ∩ B)

P(Ac ∩ B ∩ Cc) = P(B\A) + P(B\C) + P(A ∩ B ∩ C) ?

P(Ac ∩ B ∩ Cc) = P(B\A) + P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

P(B\A)
= P(B) – P(A ∩ B)
= 0,35 – 0,1 = 0,25

P(B ∩ C) = P(Bc ∪ Cc)c = 0,2

P(Ac ∩ B ∩ Cc) = 0,25 + 0,2 + 0 = 0,45

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community