Urbild bestimmen, nicht definiert im Wertebereich

Question

Aufgabe: Wir sollten diese Terme auf Injektivität, Surjektivität überprüfen und das Urbild([-1,2]) bestimmen.

f: ℝ→ℝ

a)x→3e^x

b)x→x²-x

Jetzt meine Frage, -1 liegt nicht im Wertebereich von a&b, erstellt man dann trotzdem ein Urbild von den Werten die möglich sind oder sagt man das Urbild ist nicht definiert? Danke.

Answer 1

-1 liegt nicht im Wertebereich von a&b        ist egal!

für das Urbild von M muss gelten:     f^-1(M)={x∈D Ι f(x)∈M}, also bei a): M=(-∞,ln(2/3)]

                                                                            und sonst nichts!

 

Comments

-1 liegt nicht im Wertebereich von a&b        ist egal!

Egal? Eher falsch...

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Das verstehe ich leider auch nicht.

Wenn ich f^-1([-1,2]) habe dann ist doch der überhaupt mögliche Wertebereich ]0,2]. Dann wäre das Ergebnis f^-1(]0,2])]= ]-∞,ln(2/3)], oder?

Jedoch sollen wir ja das Urbild von [-1,2] bestimmen..

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habe dann ist doch der überhaupt mögliche Wertebereich ]0,2].

Das ist falsch. Wertebereich ≠ Bildbereich.

-1 liegt im Wertebereich oder Zielbereich der Funktionen, da -1 eine reelle Zahl ist und f : ℝ→ℝ. Aber -1 wird eben nicht von den Funktionen getroffen, liegt also nicht im Bild.

Deshalb ist

$$ f^{-1}(\{-1\}) = \emptyset $$

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Ach ja, stimmt. Also das Ergebnis dann so formulieren? Danke für die Hilfe.

f^-1([-1,0])= { } und f^-1(]0,2])=]-∞,ln(2/3)]

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zu EmNero:

    -1 liegt nicht im Wertebereich von a&b        ist egal!

Egal? Eher falsch...

Es gibt kein "eher falsch", nur falsch oder richtig.

Dein Bildbereich = Muppistruppis Wertebereich ≠ Muppistruppis Zielbereich

Die implizite Def Muppistruppis ist weit verbreitet und Standard.

https://de.wikipedia.org/wiki/Zielmenge

In der Aufgabe wird nach dem Urbild einer Teilmenge des Zielbereichs gefragt und nicht einer Teilmenge des Wertebereichs/Bildbereichs.

zu Muppistruppi:

Es bleibt dabei: M=(-∞,ln(2/3)], denn f(M) ⊆[-1,2].

f(M) = ]0,2] ist richtig, aber nicht relevant.

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Vielen Dank.Das heißt b) f^-1([-1,2])=[1/2,2]

Und dann habe ich noch eine Frage.

Wir haben auch noch

c)  x→6*sin(x)+cos(1\x)

Da x=0 nicht möglich ist, ist dies ja keine Abbildung und somit kann ich auch kein Urbild berechnen oder?

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Das heißt b) f^-1([-1,2])=[-1,2]. Gefragt sind doch die x-Werte.

schwarzer Blaken = x-Werte = Urbild von

roter Balken = y-Werte, zu denen die x-Werte gesucht sind

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Da x=0 nicht möglich ist, ist dies ja keine Abbildung und somit kann ich auch kein Urbild berechnen oder?

in D muss x=0 ausgeschlossen sein. Dann geht es. Ist aber weit über Schulniveau!

Das Urbild besteht aus unendlich vielen Teilintervallen.